Affiinikuvaus

Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa.

Affiini kuvaus on kuvaus kahden vektoriavaruuden välillä ${\displaystyle \mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$. Kuvaus on muotoa

${\displaystyle \mathbf {f(x)=Ax+b} ~,~~\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ja ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$.

Kuvaus siis kuvaa pistejoukon uudelleen kääntäen, venyttäen, siirtäen joukon paikkaa tai skaalaten joukon kokoa. Kyseessä on pelkkä lineaarikuvaus siinä erikoistapauksessa, että ${\displaystyle \mathbf {b} }$ on nollavektori. Muissa tapauksissa koordinaatiston origo ei kuvaudu origoksi ja siten kuvaus eroaa lineaarikuvauksesta. Näin ollen affiinikuvaus on yhdistelmä lineaarikuvauksesta ${\displaystyle \mathbf {A} }$, joka määrää kierron, skaalauksen ja peilauksen jonkin suoran suhteen ja johon lisätään siirtovektori ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Geometrisesti tämä vastaa kaikkia kuvauksia, jotka säilyttävät (hyper)tasot muunnoksessa.^[1]

Affiini kuvaus säilyttää tietyt geometriset ominaisuudet:

1. Kuvaa suoran suoraksi
2. Kuvaa yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi
3. Säilyttää janojen osien suhteet

1. ↑ Hannu Väliaho: Lineaarialgebra, s. 20. Gaudeamus, 1981. ISBN 951-662-293-3.