In matematica, la congettura di Schanuel afferma quanto segue:
- Dato un insieme di
numeri complessi
linearmente indipendenti sull'insieme dei razionali
allora la sua estensione di campi
ha grado di trascendenza almeno
su
.
La congettura è stata formulata da Stephen Schanuel nei primi anni sessanta ma ad oggi non solo non ne esiste una dimostrazione, ma pare che questa sia fuori portata[1].
La congettura, se dimostrata, implicherebbe il Teorema di Lindemann-Weierstrass e quello di Gel'fond-Schneider, oltre ad altri risultati sulle proprietà trascendenti della funzione esponenziale, tra cui anche la non ancora dimostrata indipendenza algebrica di
ed
.
L'enunciato inverso della Congettura di Schanuel è il seguente:
Siano
un campo numerabile a caratteristica nulla ed
un omomorfismo dal gruppo additivo
al gruppo moltiplicativo
il cui nucleo è ciclico.
Si supponga inoltre che per ogni insieme di
elementi
di
linearmente indipendenti su
, l'estensione di campi
abbia grado di trascendenza almeno
su
. Allora, sotto tali condizioni, esiste un omomorfismo di campo
tale per cui
per ogni
di
.
- ^ Chow, T. Y. "What is a Closed-Form Number." Amer. Math. Monthly 106, 440-448, 1999.