HNN-Erweiterung

In der Mathematik ist die HNN-Erweiterung eine Konstruktion aus der Gruppentheorie. Die Theorie der HNN-Erweiterungen ist von grundlegender Bedeutung in der kombinatorischen und geometrischen Untersuchung von Gruppen. HNN-Erweiterungen und amalgamierte Produkte bilden die Grundlage der Bass-Serre-Theorie. Sie wurden von Graham Higman, Bernhard Neumann und Hanna Neumann 1949 in dem Artikel "Embedding Theorems for Groups"^[1] eingeführt, wo auch einige grundlegende Eigenschaften bewiesen wurden.

Eine HNN-Erweiterung ist eine Inklusion einer gegebenen Gruppe ${\displaystyle G}$ in eine andere Gruppe ${\displaystyle G_{\alpha }}$, so dass ein gegebener Isomorphismus zweier Untergruppen ${\displaystyle J}$ und ${\displaystyle K}$ von ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle G_{\alpha }}$ durch Konjugation mit einem Element ${\displaystyle t\in G_{\alpha }}$ realisiert wird.

Man spricht in diesem Fall von einer HNN-Erweiterung über der Gruppe ${\displaystyle J}$, und man spricht von einer nichttrivialen HNN-Erweiterung falls ${\displaystyle J\not =G}$ ist.

1. ↑ Graham Higman, B. H. Neumann, Hanna Neumann: Embedding theorems for groups. In: J. London Math. Soc. Band 24, 1949, S. 247–254.