Kleinstekwadratemetode

Die kleinste-kwadratemetode is 'n rekenkundige metode om die beste passing vir 'n kromme op 'n gegewe stel datapunte in 'n vlak te bepaal. Die metode verleen sy naam aan die kriterium wat gebruik word om hierdie beste passing te bepaal, dit wil sê die passing word gemeet aan die totaal van die som van die kwadratiese afwykings (in 'n vertikale sin) vanaf die kromme.

Die metode is onafhanklik van mekaar deur Karl Friedrich Gauss en Adrien Marie Legendre ontwikkel. In 1801 het Gauss die kleinste-kwadratemetode gebruik om 'n skatting van die baan van die pas ontdekte planetoïde, Ceres te maak. Hy het noukeurig voorspel waar en wanneer Ceres weer sou verskyn.

Die kleinste-kwadratemetode in sy eenvoudigste, oorspronklike vorm is 'n metode om by 'n gegewe stel punte in die xy-vlak, wat veronderstel is om (min of meer) op 'n regte lyn te lê, die bes passende lyn te bepaal. Die beste passing beteken dat die som van die gekwadreerde afwykings in die vertikale sin ten opsigte van die lyn so klein as moontlik is.

As ons die i-de meetpunt voorstel deur ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ en die verlangde lyn voorstel met:

${\displaystyle y=a+bx}$,

dan word die afwyking vir die ${\displaystyle d_{i}}$ vir die punt gegee deur:

${\displaystyle d_{i}=y_{i}-(a+bx_{i})}$.

Die som van die kwadrate van alle afwykings is

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{d_{i}^{2}}=\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-(a+bx_{i})\right)^{2}}$.

Dit kom dan daarop neer dat by die gegewe punte die parameters a en b so te bepaal dat die bostaande som op sy kleinste ('n minimum) is. Dit lei tot die sogenaamde normaalvergelykings vir a en b:

${\displaystyle a\cdot n+b\sum {x}=\sum {y}}$

${\displaystyle a\sum {x}+b\sum {x^{2}}=\sum {xy}}$,

waarvan die oplossing as volg uitgedruk kan word

${\displaystyle b={\frac {n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^{2}-\sum x\sum x}}}$

en

${\displaystyle a={\frac {1}{n}}\sum y-{\frac {1}{n}}b\sum x={\bar {y}}-b{\bar {x}}}$.