Modeloteorio

Ĉi tiu artikolo pridiskutas model-teorion kiel matematikan disciplinon, sed ne la neformale uzatan terminon matematika modelo kiel ĝi estas uzata en aliaj partoj de matematiko kaj scienco ĝenerale.

En matematiko, teorio de modeloj aŭ model-teorio aŭ modelo-teorio estas la studo de la prezento de matematikaj konceptoj per terminoj de aroteorio, aŭ la studo de la modeloj, kiuj subkuŝas matematikajn sistemojn. Ĝia premiso estas, ke estas iuj antaŭ-ekzistantaj matematikaj objektoj malsubjektive, kaj ĝi instigas demandojn pri tio, kiel aŭ kio povas esti pruvita - se estas donitaj la objektoj, iuj operacioj aŭ rilatoj inter la objektoj, kaj aro de aksiomoj.

La sendependeco de la aksiomo de elekto kaj la kontinuumo-hipotezo de la aliaj aksiomoj de aroteorio (kiujn pruvis Paŭlo Cohen kaj Kurt Gödel) estas la du plej famaj rezultoj, kiuj rezultas el la model-teorio. Estas pruvite, ke la aksiomo de elekto - same kiel ĝia nego anstataŭe - estas logike ebla kune kun la aksiomoj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel; la sama rezulto validas por la kontinuumo-hipotezo. Ĉi tiuj rezultoj estas aplikoj de modelo-teoriaj metodoj al aksioma aroteorio.

Ekzemplojn de la konceptoj de model-teorio provizas la teorio de la reelaj nombroj. Oni komencu per aro de individuoj, kie ĉiu individuo estas reela nombro, kaj aro de rilatoj kaj/aŭ funkcioj, kiel { ×, +, −, ., 0, 1 }. Kiam oni demandas, ekzemple, "∃ y (y × y = 1 + 1)" en ĉi tiu lingvo, tiam estas klare, ke tiu propozicio estas vera, se y estu el la reelaj nombroj - ekzistas tia reela nombro y, nome la kvadrata radiko de 2; tamen se y estu el la racionalaj nombroj, do la propozicio estas malvera kun ĉiu nombro el la racionalaj nombroj. Simila propozicio, "∃ y (y × y = 0 − 1)", estas malvera en la reelaj nombroj, sed estas vera en la kompleksaj nombroj, kie i × i = 0 − 1.

Model-teorio do koncernas la demandon pri tio, kio estas demonstrebla en donitaj matematikaj sistemoj, kaj kiel ĉi tiuj sistemoj rilatas unu al la alia. Ĝi aparte koncernas la demandon pri tio, kio okazas, kiam oni provas etendi iun sistemon per la aldono de novaj aksiomoj aŭ novaj lingvaj konstruoj.