Osittaisfunktio

Osittaisfunktio on funktion ${\displaystyle \mathbf {} f:A\to B}$ yleistys, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon ${\displaystyle \mathbf {} A}$ alkioon ${\displaystyle \mathbf {} a}$ enintään yhden maalijoukon ${\displaystyle \mathbf {} B}$ alkion, jota merkitään ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$, jos tämä ${\displaystyle \mathbf {} a}$:n liitettävä alkio on olemassa. Kyseessä on siis tavallisen funktion yleistys, sillä tavallinen funktio liittää jokaiseen joukon ${\displaystyle \mathbf {} A}$ alkioon ${\displaystyle \mathbf {} a}$ tarkalleen yhden joukon ${\displaystyle \mathbf {} B}$ alkion ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$, mutta funktion osittaisuus sallii sen, että joillakin ${\displaystyle \mathbf {} A}$:n alkioilla ${\displaystyle \mathbf {} a}$ tällaista siihen ${\displaystyle \mathbf {} f}$-liitettävää ${\displaystyle \mathbf {} B}$-joukon alkiota ei ole. ("liitettäviä on nyt yhden sijaan nolla kappaletta.") Tällaisilla alkioilla ${\displaystyle \mathbf {} a}$ sanotaan, että ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$ ei ole määritelty, ja toisinaan tämä ilmoitetaan merkinnällä

${\displaystyle \mathbf {f} (a)=\uparrow }$.

Niitä joukon ${\displaystyle \mathbf {} A}$ alkioita, joilla ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$ on määritelty, kutsutaan yhdessä funktion ${\displaystyle \mathbf {} f}$ määrittelyjoukoksi, jota voidaan merkitä esimerkiksi symbolilla ${\displaystyle \mathbf {} A^{'}}$. Tavallisilla funktioilla ${\displaystyle \mathbf {} A^{'}=A}$ eli määrittelyjoukko ja lähtöjoukko yhtyvät, mutta yleensä ${\displaystyle \mathbf {} A^{'}\subset A}$ eli määrittelyjoukko on pienempi ja sallittua on myös sekin, että ${\displaystyle \mathbf {} A^{'}=\emptyset }$ eli ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$ ei ole määritelty missään joukon ${\displaystyle \mathbf {} A}$ pisteessä.