Presnop

Presnopem określonym na przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ nazywamy funkcję ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ określoną na rodzinie ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ wszystkich podzbiorów otwartych tej przestrzeni, taką że dla dowolnych zbiorów ${\displaystyle U,V\in {\mathfrak {O}},U\subset V}$ określona jest funkcja

${\displaystyle \rho _{U}^{V}:{\mathcal {F}}(V)\to {\mathcal {F}}(U)}$

o własnościach:

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\varnothing )}$ składa się z jednego elementu,
2. ${\displaystyle \rho _{U}^{U}=\operatorname {Id} _{U}}$ (${\displaystyle \rho _{U}^{U}}$ jest przekształceniem tożsamościowym na ${\displaystyle U}$),
3. dla dowolnych zbiorów otwartych ${\displaystyle U\subset V\subset W{:}}$ ${\displaystyle \rho _{U}^{W}=\rho _{U}^{V}\circ \rho _{V}^{W}}$^[1].

Czasem taki presnop oznacza się przez ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ Jeśli istotne jest podkreślenie, że funkcja ${\displaystyle \rho _{U}^{V}}$ jest związana z presnopem ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ to stosowane jest oznaczenie ${\displaystyle \rho _{U,{\mathcal {F}}}^{V}.}$ Funkcja ${\displaystyle \rho _{U}^{V}}$ jest nazywana odwzorowaniem ograniczenia.

Jeśli wszystkie zbiory ${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)}$ są grupami, modułami nad ustalonym pierścieniem, albo pierścieniami, a odwzorowania ${\displaystyle \rho _{U}^{V}}$ są homomorfizmami tych struktur algebraicznych, to presnop nazywany jest odpowiednio presnopem grup, modułów, albo pierścieni^[1].