Ricci-Fluss

In der Mathematik ist der Ricci-Fluss (nach der nach Gregorio Ricci-Curbastro benannten Ricci-Krümmung) eine Deformation einer glatten riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$ und geometrischer Fluss auf der Metrik ${\displaystyle g}$. Der Ricci-Fluss ist die quasilineare partielle Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g(t)=-2\,\operatorname {Ric} (t),\quad t\in (a,b)}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {Ric} (t)}$ der Ricci-Tensor bezüglich der Metrik ${\displaystyle g(t)}$ ist. Oder anders gesagt, der Ricci-Fluss weist ${\displaystyle M}$ für jedes ${\displaystyle t}$ eine Metrik aus der Familie ${\displaystyle \{g(t)\}_{t\in (a,b)}}$ zu, welche die Gleichung löst.^[1]

Die Gleichung beschreibt eine zeitliche Veränderung der Metrik, die zur Folge hat, dass dort, wo die Ricci-Krümmung positiv ist, sich die Mannigfaltigkeit zusammenzieht und dort, wo sie negativ ist, sich die Mannigfaltigkeit ausdehnt. Heuristisch gilt, dass sich die Krümmung ähnlich wie eine Wärmeverteilung mit der Zeit gleichmäßig mittelt, und als Grenzfall eine Metrik konstanter Krümmung entsteht.

Dies allerdings mathematisch zu präzisieren und zu beweisen ist ein schwieriges Problem, weil Singularitäten (das heißt Entartungen der Metrik) im Fluss auftreten können, so dass sich dieser unter Umständen nicht beliebig lange fortsetzen lässt.

Eine wichtige Rolle spielt der Ricci-Fluss im Beweis der Geometrisierungs-Vermutung von 3-Mannigfaltigkeiten durch Grigori Perelman.

1. ↑ Richard S. Hamilton: Three-manifolds with positive Ricci curvature. In: Journal of Differential Geometry. Band 17, Nr. 2, 1982, ISSN 0022-040X, S. 255–306, doi:10.4310/jdg/1214436922 (projecteuclid.org [abgerufen am 12. März 2019]).