Laplaceova transformacija

U matematici, Laplaceova transformacija jedna je od najpoznatijih i najšire korištenih integralnih transformacija. Koristi se za dobijanje jednostavno rješive algebarske jednačine iz obične diferencijalne jednačine. Ima mnogo primjena u matematici, fizici, optici, elektrotehnici, kontrolnom inženjerstvu, obradi signala te teoriji vjerovatnoće.

U matematici se koristi za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednačina, u fizici za analizu linearnih vremensko-invarijantnih sistema kao što su električne mreže, harmonijski oscilatori, optički instrumenti, te mehanički sistemi. U ovoj analizi Laplaceova transformacija često se interpretira kao transformacija iz vremenskog domena, gdje su unosi i rezultati funkcije koje zavise od vremena, u frekventni domen, gdje su isti unosi i rezultati funkcije koje zavise od kompleksne ugaone frekvencije, ili radijana po jedinici vremena. Za dati matematički ili funkcionalni opis unosa i rezultata u sistemu Laplaceova transformacija daje alternativni funkcionalni opis, koji često pojednostavljuje proces analiziranja ponašanja sistema ili pomaže da napišemo novi sistem baziran na određenim specifikacijama.

Oznake ${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$, Laplaceova tranformacija je linearni operator funkcije f(t) (original) s realnim argumentom t (t ≥ 0) koju transformiše u funkciju F(s) (slika) s kompleksnim argumentom s. Ova transformacija, u suštini, bijektivna je za većinu od praktičnih upotreba. Laplaceova transformacija ima korisnu osobinu da mnoge relacije i operacije nad originalnima f(t) odgovaraju jednostavinjim relacijama i operacijama nad slikama F(s)^[1].

1. ^ Korn and Korn, Section 8.1