Esponja de Menger

En matemàtiques, l'esponja de Menger (de vegades dita cub de Menger o bé cub o esponja de Menger-Sierpiński o de Sierpiński) és un conjunt fractal descrit per primera vegada l'any 1926 per Karl Menger,^[1] mentre explorava el concepte de dimensió topològica.^[2]

Igual que la catifa de Sierpinski constitueix una generalització bidimensional del conjunt de Cantor, l'esponja de Manger es tracta d'una generalització tridimensional d'ambdós. Comparteix amb aquestes moltes de les seves propietats, i és un conjunt de mesurament compacte, no numerable i amb una àrea de Lebesgue igual a 0. La seva dimensió fractal de Hausdorff és ${\displaystyle d_{H}=\log 20/\log 3\approx 2.7268}$. L'esponja té una superfície infinita i al mateix temps el seu volum és zero.

Cal destacar la seva propietat de corba universal, ja que és un conjunt topològic amb una dimensió topològica igual a 1, i qualsevol altra corba o graf és homeomorf a un subconjunt de l'esponja de Menger.^[2]