Integral de Riemann

La integral de Riemann és una operació sobre una funció contínua i limitada en un interval ${\displaystyle [a,b]}$, on ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ són anomenats extrems de la integració. L'operació consisteix a trobar el límit de la suma de productes entre el valor de la funció en un punt ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ i l'amplada ${\displaystyle \Delta x}$ del subinterval que conté al punt.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n-1}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i-1}}$

Normalment es nota com:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$

El símbol ${\displaystyle \int }$ és una "S" deformada. En el cas en què la funció ${\displaystyle f}$ tingui diverses variables, el ${\displaystyle dx}$ especifica la variable d'integració. Si la variable d'integració i l'interval d'integració són coneguts, la notació es pot simplificar com ${\displaystyle \int f}$.

Algunes funcions no són clarament integrables per Riemmann, però en general les interaccions dels límits amb la integral de Riemmann són difícils d'estudiar.

La integral de Lebesgue millora aquesta teoria i permet obtenir una millor varietat de funcions integrables, així com descriure millor les interaccions dels límits amb la integral.

Històricament, Riemann va concebre aquesta teoria de la integració, i va proporcionar algunes idees per al teorema fonamental del càlcul. La teoria de la integració de Lebesgue va arribar molt més tard, quan els punts dèbils de la integral de Riemann es comprenien millor.