Logaritme natural

Logaritme natural
Gràfica d'una part de la funció de logaritme natural. La funció creix lentament fins a l'infinit positiu a mesura que augmenta x i va lentament a l'infinit negatiu a mesura que x s'acosta a 0 («lentament» en comparació amb qualsevol llei potencial de x) .
Informació general
Definició general	${\displaystyle \ln x=\log _{e}x}$
Motiu de la invenció	Proves analítiques
Camps d'aplicació	Matemàtiques pures i aplicades
Domini, codomini i imatge
Domini	${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
Codomini	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Imatge	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Valors específics
Valor a +∞	+∞
Valor a e	1
Característiques específiques
Assímptota	${\displaystyle x=0}$
Arrel	1
Inversa	${\displaystyle \exp x}$
Derivada	${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}\ln x={\dfrac {1}{x}},x>0}$
Primitiva	${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\left(\ln x-1\right)+C}$

El logaritme neperià, logaritme natural o logaritme hiperbòlic és el logaritme en base e, on e és un nombre irracional que val 2.718281828459045... En termes senzills, el logaritme natural d'un nombre x és la potència a què caldria elevar e perquè doni x — per exemple el logaritme natural de e és 1 perquè e¹ = e, mentre que el logaritme natural d'1 ha de ser 0, atès que e⁰ = 1. El logaritme natural es pot definir per a tots els nombres reals positius x com l'àrea compresa sota la corba y = 1/t des d'1 a x i també es pot definir per als nombres complexos diferents de zero tal com s'explicarà més avall.

La funció logaritme natural també es pot definir com la funció inversa de la funció exponencial, portant a les següents identitats:

${\displaystyle e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{si }}x>0\,\!}$

${\displaystyle \ln(e^{x})=x.\,\!}$

En altres paraules, la funció logaritme és una bijecció del conjunt dels nombres reals positius al conjunt de tots els nombres reals. De forma més precisa, és un isomorfisme del grup que formen els nombres reals positius amb l'operació multiplicació en el grup que formen els nombres reals amb l'operació addició.

Els logaritmes es poden definir per a qualsevol base positiva diferent d'1, no només e, i són útils per resoldre equacions en les quals la incògnita apareix com a exponent d'algun altre nombre.