Polinomi

Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma o resta de diversos monomis no semblants, anomenats termes del polinomi. El cas concret d'un polinomi amb dos termes s'anomena binomi.^[1][2][3]

Són polinomis:

${\displaystyle 3x^{5}+4x^{2}-6x+7\,}$

${\displaystyle xy^{3}+t-4a\,}$

${\displaystyle x+vt+{\frac {1}{2}}at^{2}\,}$

${\displaystyle x^{2}+4x+4\,}$

Existeixen certs criteris a l'hora de representar un polinomi, tot i que no són normes d'aplicació obligatòria:

• Quan dos termes dins d'un polinomi es poden sumar, llavors s'utilitza el polinomi resultant de sumar aquests termes. Per exemple:

Si el polinomi és: ${\displaystyle x^{2}+4x-3x+4}$, llavors és millor utilitzar ${\displaystyle x^{2}+x+4}$

• Si els factors dels monomis que se sumen es repeteixen, sempre s'escriuen en el mateix ordre:

Si el polinomi és: ${\displaystyle x^{2}y+4yx-3x+4xy^{2}}$, llavors és millor utilitzar ${\displaystyle yx^{2}+4y^{2}x+4yx-3x}$

• Els termes s'ordenen segons el grau de l'últim factor dels termes, en ordre decreixent.

Si el polinomi és: ${\displaystyle 3x^{5}+7+4x^{2}-6x}$, llavors és millor utilitzar ${\displaystyle 3x^{5}+4x^{2}-6x+7}$

Un polinomi pot ser una expressió com ${\displaystyle 2x^{3}-5x^{2}+6x-1}$ una suma de potències enteres (en l'exemple: 3, 2, 1 i 0) d'un nombre (x) multiplicades per uns coeficients (en l'exemple: 2, -5, 6 i -1). La notació ordinària pels enters els representa com a polinomis amb potències de 10: per exemple, ${\displaystyle 365=3(10^{2})+6*(10^{1})+5*(10^{0})=3*(100)+6*(10)+5*(1)}$. Si el nombre x a ${\displaystyle 2x^{3}-5x^{2}+6x-1}$ no s'especifica, però s'imagina capaç de prendre valors d'un conjunt de valors, s'anomena variable, i la fórmula ${\displaystyle 2x^{3}-5x^{2}+6x-1}$ determina una funció, de la qual el seu "domini" és el conjunt de valors que x pot prendre. Aquesta mena de funcions s'anomenen funcions polinòmiques o, breument, simplement polinomi; generalment el domini d'un polinomi se suposa que tracta de tots els nombres reals o bé tots els nombres complexos. El grau d'un polinomi és l'exponent (potència) més elevat de la variable x; per exemple, ${\displaystyle 2x^{3}-5x^{2}+6x-1}$ és de grau 3. Un nombre aïllat, considerat com el representant d'una funció constant, és un polinomi de grau zero (excepte que el nombre 0, com a polinomi, no se l'hi atribueix cap grau). Els polinomis de grau 1, 2, 3, 4 són anomenats lineals, quadràtics, cúbics, biquadràtics, respectivament.

Tots els polinomis tenen una forma expandida, on s'empra la regla distributiva per a suprimir tots els parèntesis; per exemple: ${\displaystyle x^{2}-2x+1}$. (Alguns polinomis també tenen la forma de factors, per exemple (x-1)*(x-1), on apareixen els parèntesis). A la forma expandida, un terme (per exemple -2x) del polinomi és una part del polinomi que és el producte d'un nombre anomenat coeficient (al terme -2x, el coeficient és -2) i zero o més variables, i on una variable que apareix més d'una vegada s'expressa una vegada amb un exponent (per exemple, tot i que són el mateix, en lloc d'escriure x*x-2x+1, hom escriu ${\displaystyle x^{2}-2x+1}$ on l'exponent de x² és 2). Cada polinomi en forma expandida és la suma d'uns termes, on la resta es fa mitjançant la suma de termes amb coeficients negatius.

Els polinomis es classifiquen pel seu grau i nombre de variables.^[4] El grau d'un terme en un polinomi és la suma de tots els exponents de les variables del terme, on una variable sense exponent s'entén que té exponent 1 (per exemple, el terme ${\displaystyle 7x^{3}y^{2}}$ és de grau 3+2=5 i el terme ${\displaystyle -5x^{2}y}$ és de grau 2+1=3). En particular, un terme sense variables té grau zero. El grau d'un polinomi coincideix amb el grau major de tots els termes del polinomi, sense tenir en compte els termes amb coeficient zero. Així a ${\displaystyle x^{2}-2x+1}$ el terme x² té grau 2 i és el grau més gran dels tres termes del polinomi, per tant també el grau del polinomi és 2. Si tots els termes del polinomi tenen coeficients zero, llavors el grau del polinomi no és zero, sinó que és indefinit, o en alguns contexts es diu que té un altre valor (com ara −∞).

Exemple: ${\displaystyle 3x(x-y)+z\,}$ és equivalent a la forma expandida: ${\displaystyle 3x^{2}-3xy+z\,}$ A aquesta forma expandida, el segon terme és −3xy i el seu grau és 2. El polinomi és de segon grau amb tres variables (x, y i z). Si donem valors a les variables, per exemple, x = 10, y = 5, z = 100 llavors l'avaluació del polinomi és 250, ja que: ${\displaystyle 3*(10)^{2}-3*(10)*(5)+(100)=250}$.

Tot polinomi d'una variable és equivalent a un polinomi de la forma: ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$.

Aquesta darrera forma s'usa de vegades com a definició per a un polinomi d'una variable.

L'avaluació d'un polinomi consisteix a assignar un nombre a cada variable i efectuar les operacions indicades (en l'exemple anterior hem assignat valors a x, y, z, i hem vist que l'avaluació ens donava 250). De vegades, per a polinomis d'una variable, l'avaluació es fa emprant l'esquema de Horner: ${\displaystyle ((\ldots (a_{n}x+a_{n-1})x+...+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}\,}$.

Una equació polinòmica és una equació on s'iguala un polinomi a zero o a un altre polinomi.^[5] En el segon cas, l'equació hom la converteix a la primera sense més que sostraure al primer polinomi el segon. Quan hom té un polinomi igualat a zero, el grau de l'equació és el grau del polinomi. Les variables sovint són anomenades "incògnites", en el sentit que l'equació és un problema encara desconegut fins a ser resolt trobant nombres per a les variables de manera que l'equació sigui certa en avaluar el polinomi.

A l'àlgebra elemental, es donen mètodes per a resoldre equacions de polinomis, d'una variable, de primer i segon grau. El nombre de solucions possibles pot ser igual o menor al grau de l'equació. Ací s'ha de tenir en compte la multiplicitat de solucions. Per exemple, l'equació ${\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)(x-1)=0}$ només té una solució x=1, en lloc de dues (el grau de l'equació és 2 i per tant hom pot esperar trobar 2 valors de x pels quals l'equació es verifica, però en ser la solució doble, només x=1 verifica l'equació).

Un sistema d'equacions polinòmiques és un conjunt d'equacions que han de ser avaluades amb la mateixa assignació de nombres a les variables a cada equació. Els sistemes d'equacions són normalment agrupats amb una sola clau oberta a l'esquerra. A àlgebra elemental, es donen mètodes per a resoldre sistemes d'equacions lineals de diverses incògnites. Per a aconseguir una solució única el nombre d'equacions hauria de ser igual al nombre d'incògnites. Els sistemes d'equacions lineals de diverses incògnites són tractats a l'àlgebra lineal.