Primitiva

En matemàtiques, una primitiva d'una funció f d'una variable real definida sobre un interval I és una funció F definida i derivable sobre I la derivada de la qual és f, en altres paraules tal que:

${\displaystyle \forall x\in I,\quad F\,'(x)=f(x).}$

Una condició suficient perquè una funció f admeti primitives sobre un interval és que hi sigui contínua.

La primitiva és lineal, és a dir:

1. Si f és una funció que admet una primitiva F sobre un interval I, llavors per a tot real k, una primitiva de kf sobre l'interval I és kF.
2. Si F i G són primitives respectives de dues funcions f i g, llavors una primitiva de f + g és F + G.

La linealitat es pot expressar com segueix:

${\displaystyle \int {k\cdot f\left(x\right)}+l\cdot g\left(x\right)=k\cdot \int {f\left(x\right)+}l\cdot \int {g\left(x\right)}}$

Si una funció f admet una primitiva sobre un interval, n'admet una infinitat, que difereixen entre elles d'una constant: si F₁ i F₂ són dues primitives de f, llavors existeix un real k₀ tal que F₁ = F₂ + k₀.

El conjunt de totes les primitives d'una funció f donada s'anomena de vegades integral indefinida de la funció f. Si la funció f està definida en un interval connex llavors la seva integral indefinida es pot expressar com la suma d'una primitiva F més una constant arbitrària C:

${\displaystyle \int {f=F+\mathbb {R} }=\{F+C:C\in \mathbb {R} \}}$

anàlogament,

${\displaystyle F\in \int f}$

Segons el teorema fonamental del càlcul, si ${\displaystyle F}$ és una primitiva de ${\displaystyle f}$, llavors

${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x}$.