Teorema de Ptolemeu

En geometria euclidiana, el teorema de Ptolemeu és una relació entre els quatre costats i dues diagonals d'un quadrilàter cíclic (un quadrilàter els vèrtexs del qual es troben en un cercle comú). El teorema rep el nom de l'astrònom i matemàtic grec Ptolemeu (Κλαύδιος Πτολεμαῖος; Claudius Ptolemaeus).^[1] Ptolemeu va utilitzar el teorema com a ajuda per crear la seva taula de cordes, una taula trigonomètrica que va aplicar a l'astronomia.

• 
  El teorema de Ptolemeu és una relació entre aquestes longituds en un quadrilàter cíclic.

Si els vèrtexs del quadrilàter cíclic són A, B, C i D en ordre, aleshores el teorema diu que:

${\displaystyle \definecolor {V}{rgb}{0.5803921568627451,0,0.8274509803921568}\definecolor {B}{rgb}{0,0,1}\definecolor {R}{rgb}{0.8,0,0}{\color {V}AC}\cdot {\color {V}BD}={\color {B}AB}\cdot {\color {B}CD}+{\color {R}BC}\cdot {\color {R}AD}}$

on les línies verticals denoten la longitud dels segments de línia entre els vèrtexs anomenats. Aquesta relació es pot expressar verbalment de la següent manera:

Si un quadrilàter és inscriptible en un cercle, el producte de les longituds de les seves diagonals és igual a la suma dels productes de les longituds dels parells de costats oposats.

A més, la inversa del teorema de Ptolemeu també és certa:

En un quadrilàter, si la suma dels productes de les longituds dels seus dos parells de costats oposats és igual al producte de les longituds de les seves diagonals, aleshores el quadrilàter es pot inscriure en un cercle, és a dir, és un quadrilàter cíclic.