Euklidisk rum

Omkring 300 fvt. gennemførte den græske matematiker Euklid et omfattende studium af relationerne mellem afstande og vinkler; først i planen (en idealiseret flad overflade) og derefter i rummet. Et eksempel på en sådan relation er, at summen af vinklerne i en trekant altid er 180 grader. I dag kendes denne samling relationer som to- eller tre-dimensional euklidisk geometri.

I moderne matematisk sprog kan begreberne afstand og vinkel let generaliseres til rum af højere dimension. Et n-dimensionalt rum med begreber som afstand og vinkel, der opfylder de euklidiske relationer kaldes n-dimensionalt euklidisk rum. Denne artikel vil introducere det moderne sprog, der kræves for abstraktionsspringet til højere dimension.

En afgørende egenskab ved euklidisk rum er dets væren fladt. Der eksisterer rum i geometri, som ikke er flade. For eksempel er kugleoverfladen det ikke; en trekant på en kugle vil (når den er passende defineret) have vinkler, der summer til mere end 180 grader. Faktisk er der i alt væsentligt kun et euklidisk rum af hver dimension, hvorimens der er mange ikkeeuklidiske af hver dimension. Ofte vil man konstruere disse rum som systematiske deformationer af det euklidiske rum.