Zermelo-Fraenkels aksiomer

Ernst Zermelo opstillede i 1908 et sæt aksiomer for mængdelæren som Abraham Fraenkel omformulerede i 1922 og udbyggede med udskiftningsaksiomet.

Undertiden udelades udvalgsaksiomet af Zermelo-Fraenkels aksiomer på grund af dets problematiske natur.

Aksiomerne kan formuleres:

1. (Den tomme mængde) Der eksisterer en mængde hvori ingen elementer er medlem.
2. (Foreningsmængde) For ethvert par af mængder findes en mængde bestående af netop alle elementer fra de to første mængder.
3. (Delmængde) For enhver mængde findes en mængde med elementer herfra som har en egenskab til fælles.
4. (Uendelighed) For enhver mængde findes en mængde som har flere elementer.
5. (Potensmængde) For enhver mængde findes en mængde bestående af alle delmængder af den første mængde.
6. (Udskiftning) I enhver mængde kan elementerne udskiftes med mængder.
7. (Udvalg) For enhver mængde findes en funktion som udvælger et element fra mængden.

De tre første aksiomer er tilstrækkeligt til at konstruere de naturlige tal.

Af potensmængdeaksiomet (5) følger at der ikke er 'en største mængde' idet vi her får et redskab til at konstruere evigt voksende mængder.

Udskiftningsaksiomet (6) var det som Abraham Fraenkel tilføjede og som sikrede aksiomsystemet mod Russells paradoks.

Udvalgsaksiomet udelades i dag ofte når det er muligt fordi det er kontroversielt. Den omtalte funktion kan ikke formuleres eksplicit for eksempelvis åbne mængder af reelle tal.

Aksiomsystemet kendes også som ZFC.