Absolute Geometrie

Als absolute Geometrie im engsten Sinn wird die Gesamtheit der geometrischen Sätze über einen dreidimensionalen Raum bezeichnet, die man allein aufgrund der Axiome der Verknüpfung (Inzidenzaxiomen) (H-I), der Anordnung (H-II), der Kongruenz (H-III) und der Stetigkeit (H-V) – also ohne das Parallelenaxiom – herleiten kann. Die in Klammern genannten Bezeichnungen sind hier Axiomengruppe I, II, III und V in Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie. In einem weiteren Sinne zählt man auch zweidimensionale Modelle, die den Axiomengruppen H-I bis H-III in ihrer zweidimensionalen Form genügen, die sogenannten Hilbert-Ebenen, zur absoluten Geometrie, dies sind (in den Hauptfällen) euklidische oder hyperbolische Ebenen über pythagoreischen Körpern.^[1]

Es handelt sich also um die Menge der Sätze, die sowohl in der euklidischen Geometrie als auch in den nichteuklidischen Geometrien Gültigkeit haben, oder anders ausgedrückt um den „gemeinsamen Unterbau“ dieser Geometrien.

Beispielsweise gehören einige Kongruenzsätze zur absoluten Geometrie, der Satz über die Winkelsumme im Dreieck und der Satz des Pythagoras jedoch nicht. In Euklids Elementen werden die ersten 28 Sätze ohne das Parallelenaxiom bewiesen und zählen somit zur absoluten Geometrie im engeren Sinn.

1. ↑ Die Hauptfälle sind hier Ebenen über Körpern, Nebenfälle sind Teilebenen dieser Ebenen, die die Axiome erfüllen, aber nur durch Koordinaten aus gewissen Teilringen „ihres“ Körpers koordinatisiert sind. Bachmann (1973) §20.13 Hilbert-Ebenen.