Algebraische Zahl

In der Mathematik ist eine algebraische Zahl ${\displaystyle x}$ eine reelle oder komplexe Zahl, die Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer als Null (nicht-konstantes Polynom)

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$

mit rationalen Koeffizienten ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {Q} }$ für ${\displaystyle k=0,\dotsc ,n}$ und ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ist, also eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle f(x)=0}$.^[1]

Die so definierten algebraischen Zahlen bilden eine echte Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {A} }$ der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Offenbar ist jede rationale Zahl ${\displaystyle q}$ algebraisch, da sie die Gleichung ${\displaystyle x-q=0}$ löst. Es gilt also ${\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {A} \subsetneq \mathbb {C} }$.

Ist eine reelle (oder allgemeiner komplexe) Zahl nicht algebraisch, so heißt sie transzendent.

Die ebenfalls gebräuchliche Definition der algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten ist äquivalent zur oben angegebenen:^[2] Jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten kann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten in eines mit ganzzahligen Koeffizienten umgewandelt werden. Das entstehende Polynom hat dieselben Nullstellen wie das Ausgangspolynom.

Polynome mit rationalen Koeffizienten kann man normieren, indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ dividiert. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizienten ganzzahlig sind, nennt man ganzalgebraische Zahlen oder auch ganze algebraische Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen, der aber nicht faktoriell ist.^[3] Zum allgemeinen Begriff der Ganzheit siehe Ganzheit (kommutative Algebra).

Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des algebraischen Elements erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ aus einem beliebigen Körper entnimmt.

1. ↑ Algebraic number. In: EncyclopediaOfMath.org. Encyclopedia of Mathematics, 14. Februar 2020, abgerufen am 28. Mai 2023. 
2. ↑ Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Arithmetik und der Algebra. 6. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-48773-0, S. 168. 
3. ↑ Alexander Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-45974-3, S. 71 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 27. Mai 2023]).