Arctan2

Die mathematische Funktion arctan2, auch atan2, ist eine Erweiterung der inversen Winkelfunktion Arkustangens und wie diese eine Umkehrfunktion der Winkelfunktion Tangens.

Sie nimmt zwei reelle Zahlen als Argumente, im Gegensatz zum normalen Arkustangens, welcher nur eine reelle Zahl zum Argument hat. Damit hat sie genügend Information, um den Funktionswert in einem Wertebereich von ${\displaystyle 360^{\circ }}$ (also allen vier Quadranten) ausgeben zu können, und muss sich nicht (wie der normale Arkustangens) auf zwei Quadranten beschränken.

Der volle Wertebereich wird häufig benötigt, beispielsweise bei der Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten: wenn der Funktion ${\displaystyle \operatorname {arctan2} (x,y)}$^[1] ${\displaystyle =:\varphi }$ die beiden kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ als Argumente gegeben werden, erhält man den Polarwinkel ${\displaystyle \varphi }$, der sich im richtigen Quadranten befindet, d. h. der die Beziehungen

${\displaystyle x=r\cos \varphi }$ und

${\displaystyle y=r\sin \varphi }$ mit

${\displaystyle r:=\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

erfüllt.

Ein mathematisch nützlicher Zusatzeffekt ist, dass Winkel, bei denen der Tangens eine Polstelle hat, nämlich die Winkel ${\displaystyle \pm 90^{\circ }=\pm \pi /2\,,}$ durch ganz normale reelle Koordinaten spezifiziert werden können, nämlich durch ${\displaystyle \pm \pi /2=\operatorname {arctan2} (0,\pm 1)}$ anstatt ${\displaystyle \operatorname {arctan} (\pm \infty )\,.}$

Das kommt von der Definitionsmenge ${\displaystyle E:=\mathbb {R} ^{2}\!\setminus \!\{(0,0)\}}$ der Funktion ${\displaystyle \operatorname {arctan2} \,,}$ der „gelochten“ Ebene, welche mit einer Gruppenstruktur versehen werden kann, die isomorph ist zur multiplikativen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ der komplexen Zahlen ohne die Null. Diese Gruppen sind direktes Produkt der Kreisgruppe ${\displaystyle \mathbb {S} }$ der Drehungen und der Gruppe der Streckungen um einen Faktor größer Null, der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$ Erstere Gruppe lässt sich durch den Polarwinkel ${\displaystyle \varphi }$ parametrisieren, zweitere durch den (positiven) Betrag ${\displaystyle r\ .}$

1. ↑ In diesem Artikel wurde die Argumentreihenfolge ${\displaystyle (x,y)}$ gewählt, weil allermeistens von der ${\displaystyle (x,y)}$-Ebene und praktisch nie von der ${\displaystyle (y,x)}$-Ebene gesprochen wird. Mehr zu Funktionsname und Argumentreihenfolge findet sich im § Implementierungen.