Binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Mit Binomen (deutsch: „zwei Namen“; eine Bezeichnung, die auf Euklid zurückgeht) sind mathematische Ausdrücke mit zwei Gliedern gemeint, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind, wie zum Beispiel

${\displaystyle 1+3,}$ ${\displaystyle \quad 13-7\quad }$ oder auch ${\displaystyle \quad a+b\,}$ (mit zwei noch nicht näher bestimmten Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$).

In einigen Anwendungen ist das Rechnen mit quadrierten Binomen vonnöten: Zerteilt man in der Geometrie zum Beispiel die Seite eines Quadrates in die Längen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b,}$ so hat es den Flächeninhalt ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ (siehe Bild). Es bedeutet die Schreibweise ${\displaystyle x^{2}}$ (gesprochen: „${\displaystyle x}$ Quadrat“), dass die Zahl ${\displaystyle x}$ mit sich selbst multipliziert wird, also ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x.}$ Zum Beispiel gilt ${\displaystyle 2^{2}=2\cdot 2=4}$.

Heegner-Punkt

Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, und die mit Punkten auf geometrischen Figuren, nämlich Modulkurven, verknüpft werden können. Die mittels der Verknüpfung gegebenen Punkte auf Modulkurven werden ebenfalls Heegner-Punkte genannt und sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie. Sie spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Heegner-Punkte unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-Zahlen.

Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Das quadratische Reziprozitätsgesetz, gelegentlich auch Gaußsches Reziprozitätsgesetz, ist ein grundlegendes Gesetz aus der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es beschäftigt sich mit der Frage, ob es zu einer ganzen Zahl ${\displaystyle }$ und einer ungeraden Primzahl ${\displaystyle p}$ eine Quadratzahl ${\displaystyle m^{2}}$ gibt, sodass die Differenz ${\displaystyle m^{2}-a}$ durch ${\displaystyle p}$ teilbar ist. Genau genommen gibt es, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest einer Primzahl ist. Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Leonhard Euler und der Beweis durch Gauß (Disquisitiones Arithmeticae 1801, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen algebraischen Zahlentheorie.

Riemannsche Vermutung

Die Riemannsche Vermutung, Riemannsche Hypothese, Riemannhypothese oder kurz RH trifft eine Aussage über die Verteilung der Primzahlen und ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde erstmals 1859 von Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe in einem Nebensatz formuliert. Nachdem sie bereits im Jahr 1900 von David Hilbert auf seine Liste 23 wichtiger Jahrhundertprobleme gesetzt worden war, wurde sie im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat damit ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt.

Riemannsche Zeta-Funktion

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie üblicherweise mit dem Symbol ${\displaystyle \zeta (s)}$ (mit dem Buchstaben Zeta), wobei ${\displaystyle s}$ eine komplexe Zahl ihres Definitionsbereichs ist. Für Werte ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ mit Realteil größer als 1 wird die Riemannsche Zeta-Funktion über eine Dirichlet-Reihe definiert. Mittels analytischer Fortsetzung kann sie zu einer auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Sie erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann.

Satz des Euklid

Satz von Dirichlet (Primzahlen)

Der Satz von Dirichlet, gelegentlich auch Dirichletscher Primzahlsatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er besagt, dass eine aufsteigende arithmetische Progression unendlich viele Primzahlen enthält, wenn dies nicht aus trivialen Gründen unmöglich ist. Eine arithmetische Progression ist dabei eine Folge ganzer Zahlen, sodass zwei aufeinanderfolgende Glieder stets dieselbe Differenz haben. Den ersten vollständigen Beweis der Aussage lieferte Dirichlet im Jahr 1837. Dabei wurden erstmals rein analytische Methoden für die Gewinnung eines zahlentheoretischen Satzes verwendet. Die Vermutung über Primzahlen in arithmetischen Folgen stammt von Adrien-Marie Legendre aus dem Jahr 1798, der in seinem Lehrbuch der Zahlentheorie einen fehlerhaften Beweis gab, wie Dirichlet darlegte. Anwendung findet der Satz innerhalb der Zahlentheorie, etwa im Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski.

Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, kurz BSD, ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der modernen Mathematik und macht Aussagen zur Zahlentheorie auf elliptischen Kurven. Benannt wurde sie nach den Mathematikern Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer, die sie erstmals im Jahr 1965 aufstellten, wobei sie ihre Vermutung auf eine bereits 1958 gestartete Serie von Berechnungen an den EDSAC-Computern stützten. Diese hatten zum Ziel gehabt, eine zur Klassenzahlformel von Dirichlet „analoge Theorie“ für elliptische Kurven zu entdecken. Die Vermutung wurde im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat im Zuge dessen ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt. Hinsichtlich des Auffindens potenzieller Gegenbeispiele existieren in der Preisausschreibung jedoch Sonderregeln, insbesondere dann, wenn diese mit der Rechengeschwindigkeit moderner Computer erlangt wurden, und keinerlei „tiefere Einsicht“ in das Problem geben können.

Differentialrechnung

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ einer geometrischen Folge ${\displaystyle a_{n}}$, sodass also zwei aufeinanderfolgende Reihenglieder stets dasselbe Verhältnis haben. Die Bezeichnung weist darauf hin, dass jeder Summand das geometrische Mittel aus Vorgänger und Nachfolger ist. Ein Beispiel einer geometrischen Reihe ist ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+\cdots }$ mit Reihenwert ${\displaystyle 2}$. Ganz allgemein besitzt sie die Gestalt ${\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots }$ mit einem Vorfaktor ${\displaystyle a}$ und dem gemeinsamen Verhältnis ${\displaystyle q\not =0}$. In der Literatur wird jedoch häufig schlicht ${\displaystyle a=1}$ gesetzt.

Bei geometrischen Reihen handelt es sich um Reihen „besonders einfacher Bauart“. In der Mathematik, besonders der Analysis, hat dies große Vorteile. Soll etwa eine bestimmte unendliche Reihe analysiert werden, die komplizierte Eigenschaften hat, so kann diese manchmal durch eine geometrische Reihe „imitiert“ werden, und diese Vereinfachung ermöglicht es schließlich doch, Aussagen zu treffen. Diese „Imitation“ ist zum Beispiel bezüglich allgemeiner Potenzreihen hinsichtlich Fragen der Konvergenz „fast perfekt“, was schließlich zum Begriff des Konvergenzradius führt, einer sehr aussagekräftigen Kenngröße dieser Reihen und damit der Funktionentheorie im Allgemeinen.

Holomorphe Funktion

„Form“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich ${\displaystyle U}$ heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von ${\displaystyle U}$ komplex differenzierbar ist. Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals

Produktregel

${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$.

Der Vorteil dieser Regel liegt darin, dass es im Allgemeinen einfacher ist, die Ableitungen beider Faktoren separat zu berechnen, als jene des gesamten Produkts auf einmal.

Reihe (Mathematik)

Eine Reihe, selten Summenfolge oder unendliche Summe, und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden, wie etwa

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\cdots .}$

Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihe konvergiert, sich die unendlich lange Summe also langfristig einem festen Wert immer weiter annähert. In etwa konvergiert die obere Beispielreihe gegen den Wert ${\displaystyle 1}$ (siehe Bild). Allgemein wird eine Reihe ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ mit ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den Grenzwert.

Dreiteilung des Winkels

Goldener Schnitt

Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea, proportio divina, Bedeutung: Goldener Schnitt bzw. göttliche Proportion), gelegentlich auch stetige Teilung, einer Strecke bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken, sodass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.

Leonhard Euler

Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers