Binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Mit Binomen (deutsch: „zwei Namen“; eine Bezeichnung, die auf Euklid zurückgeht) sind mathematische Ausdrücke mit zwei Gliedern gemeint, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind, wie zum Beispiel

${\displaystyle 1+3,}$ ${\displaystyle \quad 13-7\quad }$ oder auch ${\displaystyle \quad a+b\,}$ (mit zwei noch nicht näher bestimmten Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$).

In einigen Anwendungen ist das Rechnen mit quadrierten Binomen vonnöten: Zerteilt man in der Geometrie zum Beispiel die Seite eines Quadrates in die Längen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b,}$ so hat es den Flächeninhalt ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ (siehe Bild). Es bedeutet die Schreibweise ${\displaystyle x^{2}}$ (gesprochen: „${\displaystyle x}$ Quadrat“), dass die Zahl ${\displaystyle x}$ mit sich selbst multipliziert wird, also ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x.}$ Zum Beispiel gilt ${\displaystyle 2^{2}=2\cdot 2=4}$.

Innerhalb der Schulmathematik kommt den binomischen Formeln ein hoher Stellenwert zu, und sie sind fester Bestandteil des Lehrplans im Fach Mathematik. Dabei werden drei binomische Formeln unterschieden:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$	erste binomische Formel,
${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$	zweite binomische Formel,
${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}$	dritte binomische Formel.

Gerade beim Quadrieren von Summen passieren häufig Fehler: So ist das „Quadrat einer Summe“, also zum Beispiel ${\displaystyle (1+3)^{2}}$ im Allgemeinen^{[Anm. 1]} nicht die „Summe der Quadrate“, hier ${\displaystyle 1^{2}+3^{2}.}$ Da Klammern stets zuerst aufgelöst werden müssen, gilt

${\displaystyle (1+3)^{2}=4^{2}=16,\quad }$ aber falsch wäre eine Gleichsetzung mit ${\displaystyle \quad 1^{2}+3^{2}=1+9=10.}$

Die binomischen Formeln halten nun Rechenregeln fest, mit deren Hilfe zum Beispiel der Ausdruck ${\displaystyle (1+3)^{2}}$ korrekt „in Abhängigkeit von ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 3}$“, also der zwei Glieder des Binoms, berechnet werden kann, insbesondere unter Beachtung aller Regeln für Klammerausdrücke. Diese Regeln entfalten ganz besonders dann ihren Sinn, wenn nicht alle Teile des Binoms bestimmt sind, zum Beispiel ${\displaystyle (2+x)^{2},}$ aber trotzdem eine Berechnung bzw. Umformung gemacht werden soll. Vorteile hat dies zum Beispiel beim Umgang mit quadratischen Gleichungen. Weitere Anwendungen betreffen quadratische Ergänzung, einen Beweis des Satzes des Pythagoras, aber auch Bereiche wie Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die binomischen Formeln werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern und Rechenfehler verhindern sollen, zum anderen erlauben sie die Faktorisierung von Termen, also die Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte, was bei der Vereinfachung von Bruchtermen oder Wurzeltermen sehr oft die einzige Lösungsstrategie darstellt. Im Grunde sind sie nur Anwendungen des Distributivgesetzes für algebraische Summen (jedes Glied der einen wird mit jedem der anderen Summe multipliziert)

${\displaystyle (a+b)\,(c+d)=ac+ad+bc+bd}$

mit ${\displaystyle c=a,}$ ${\displaystyle d=b}$ und den entsprechenden Vorzeichenvarianten. Erstmals bewiesen wurden die binomischen Formeln von Euklid, der geometrische Methoden verwendete. Sie waren aber den Babyloniern bereits 1900 v. Chr. bekannt.

Eine Verallgemeinerung der ersten binomischen Formel auf beliebige natürliche Exponenten, wie ${\displaystyle (a+b)^{3},(a+b)^{4}}$ usw., stellt der binomische Lehrsatz dar. Die binomischen Formeln gelten in allen kommutativen Ringen (allgemeine Mengen, innerhalb derer mit Addition, Subtraktion und Multiplikation gerechnet werden kann, wie etwa die ganzen Zahlen).
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