Brennweite

Die Brennweite eines optischen Systems, bestehend aus einer oder mehreren Linsen oder gewölbten Spiegeln, ist der Abstand zwischen der bildseitigen Hauptebene des Systems und seinem Fokus (Brennpunkt).

• Eine Sammellinse konzentriert ein parallel einfallendes Strahlenbündel im nach ihr liegenden Brennpunkt (Abbildung rechts, erstes Bild).
• Bei Zerstreuungslinsen liegt der Fokus vor der Linse, und ein parallel einfallendes Strahlenbündel wird so zerstreut, als ob die Einzelstrahlen alle aus diesem Fokus stammten (zweites Bild).
• Bei einem Hohlspiegel läuft ein parallel einfallendes Strahlenbündel im vor dem Spiegel liegenden Brennpunkt zusammen (drittes Bild).
• Bei einem Konvexspiegel wird ein parallel einfallendes Strahlenbündel so zerstreut, als ob die Einzelstrahlen alle aus dem hinter dem Spiegel liegenden Fokus stammten (viertes Bild).

Bei aus mehreren Linsen oder/und Spiegeln bestehenden Systeme – wie zum Beispiel Objektiven von Kameras oder Mikroskopen – lassen sich die Lagen der Hauptebenen (zwei pro System, eine objekt- und eine bildseitige) nicht so einfach erkennen wie bei einer Einzellinse (in ihr) oder bei einem Einzelspiegel (auf seinem Scheitel).

Die Brennweite ist ein Konzept der paraxialen Optik,^[2] sie wird durch eine Grenzwertbetrachtung für gegen Null gehende Abstände und Winkel von Strahlen zur optischen Achse definiert. Man betrachte einen achsparallel in das System einfallenden Strahl und den zugehörigen ausfallenden Strahl, der die Achse im Punkt S schneidet. Sei P der Schnittpunkt der zu Geraden verlängerten ein- und ausfallenden Strahlen. Der parallel zur Achse gemessene Abstand d der Punkte P und S hängt vom Achsabstand a des einfallenden Strahls ab, was eine Auswirkung der sphärischen Aberration ist. Lässt man a gegen Null gehen, dann wandert S zum Brennpunkt und P zum bildseitigen Hauptpunkt des Systems, und d(a) geht gegen die Brennweite:

${\displaystyle f=\lim _{a\rightarrow 0}d(a)}$.

Die Menge der Punkte P für alle Achsabstände a wird äquivalenter Ort der Brechung genannt. Im Allgemeinen ist dies keine Ebene, wiederum aufgrund der sphärischen Aberration.

Aus diesem Grunde, dass sich die eingangs gegebene Definition der Brennweite nur auf achsennahe Strahlen bezieht, stellt sich der zunächst als simpel definiert erscheinende Begriff der Brennweite bei praktisch verwirklichten dioptrischen Systemen (wie zum Beispiel bei Fernrohr- oder photographischen Objektiven) als sehr komplex heraus. Die Ursache dafür liegt darin, dass nicht nur die Lage des Brennpunktes selbst, sondern auch diejenige des bildseitigen Hauptpunktes, von dem ab sich die Strecke bis zum Brennpunkt bemisst, von Aberrationen überprägt ist. Je nach Einfallshöhe der achsenparallelen Strahlen wandert der Hauptpunkt entlang der optischen Achse (siehe nebenstehende Abbildung), weshalb dieser Ansatz einer Brennweitendefinition für den rechnenden Optiker wenig brauchbar ist. Jener sieht in der Brennweite vielmehr das Größenverhältnis zwischen dem Gegenstand und dem Bild, das von diesem Gegenstand erzeugt wird.^[3] Schon Carl Friedrich Gauß hatte diese Definition im Jahre 1840 als „in der That die einzig zweckmäßige“ bezeichnet.^[4] In Bezugnahme auf eine grundlegende Abhandlung zu diesem Thema des Astronomen Johannes Hartmann aus dem Jahre 1904 definierte die Wirtschaftsgruppe Feinmechanik und Optik des Deutschen Reiches ab dem 1. Januar 1938 die Brennweite daher wie folgt: „Die Brennweite ist das Verhältnis der linearen Größe des Bildes eines unendlich fernen Objekts zu dessen scheinbarer Größe, und zwar der Grenzwert, dem sich dieses Verhältnis mit abnehmender scheinbarer Größe des Objekts nähert.“^[5]

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Große Brennweiten entstehen durch flache, schwach gekrümmte Oberflächen, kleine Brennweiten durch starke Krümmungen. Speziell bei einzelnen Linsen wird der Kehrwert der Brennweite Brechkraft oder Brechwert (nach Medizin-Duden: Brechungswert^[6]) genannt. Bei Sammellinsen und Hohlspiegeln ist die Brennweite als positiver Wert, bei Zerstreuungslinsen und Konvexspiegeln als negativer Wert definiert.

Die Brennweite wird bei der Anwendung der Linsengleichung gebraucht. In der Fotografie bestimmt die Brennweite des Objektivs zusammen mit dem Aufnahmeformat den Bildwinkel (siehe auch Formatfaktor). Das gilt auch für das Zwischenbild beim Mikroskop. Bei Fernrohren und Ferngläsern bestimmen die Brennweiten von Objektiv und Okular zusammen die Vergrößerung.

1. ↑ Hartmann, Johannes: Objektivuntersuchungen, Teil B: Die Brennweitenbestimmung. In: Zeitschrift für Instrumentenkunde. Nr. 2, Februar 1904, S. 34. 
2. ↑ Eugene Hecht: Optik. Oldenbourg Verlag, Kapitel 5 Geometrische Optik. Abschnitt 2 Linsen.
3. ↑ Hartmann, Johannes: Objektivuntersuchungen, Teil B: Die Brennweitenbestimmung. In: Zeitschrift für Instrumentenkunde. Nr. 2, 1904, S. 34 f. (google.de). 
4. ↑ Gauß: Dioptrische Untersuchungen. In: Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1843, S. 2. 
5. ↑ zitiert nach: Merté, Willy: Das photographische Objektiv seit dem Jahre 1929. In: Michel, Kurt (Hrsg.): Handbuch der wissenschaftlichen und angewandten Photographie, Ergänzungswerk. Band I. Wien 1943, S. 15 f. 
6. ↑ Duden: Wörterbuch medizinischer Fachbegriffe. Dudenverlag, 10. Auflage, Berlin 2021, ISBN 978-3-411-04837-3, S. 696.