Dichteste Kugelpackung

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Die dichteste Kugelpackung ist diejenige gegenseitige Anordnung gleich großer Kugeln, die den kleinsten Raum beansprucht. Der leere Raum zwischen den dichtest gepackten Kugeln nimmt nur etwa 26 % des Gesamtraumes ein, bzw. die Packungsdichte beträgt etwa 74 %:^[1][2]

${\displaystyle {\frac {\pi {\sqrt {2}}}{6}}\approx 0{,}74048\approx 74\,\%}$.

Diese Anordnung besteht aus ebenen Schichten aus sich berührenden Kugeln, von denen jede von sechs benachbarten Kugeln und von je drei Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird,^[3], (Kusszahl = 12). Die darin enthaltenen Schichten werden als hexagonale (regelmäßig sechseckige) Kugel-Schichten bezeichnet. Die Schichten oberhalb und unterhalb der mittleren können aufeinander projiziert gleich liegen oder gegeneinander verschoben sein, Schichtenfolge ABA oder ABC.

Nur für den Fall einer regelmäßigen periodischen Schichtenfolge ABCABC... kann man in der Packung schräg liegende tetragonale (quadratische) Kugel-Schichten identifizieren, in denen jede Kugel von vier benachbarten Kugeln und von je vier Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird. In dieser Weise lassen sich kugelförmige Gegenstände, z. B. Obst, pyramidenförmig auf einer rechteckigen Unterlage aufschichten. Nur die Ränder der untersten Schicht müssen dabei gegen Wegrollen gesichert werden.

Die erste Beschreibung ist die allgemeinere und deswegen die bevorzugt gebrauchte.

Das Problem geht auf Sir Walter Raleigh zurück, der die Frage stellte, wie Kanonenkugeln in^[4] einem Schiff am dichtesten gestapelt werden könnten (siehe auch nebenstehendes Bild). 1611 äußerte Johannes Kepler die Vermutung, dass dichteste Kugelpackungen in kubisch-flächenzentrierten und in hexagonalen Kristallsystemen vorlägen. Carl Friedrich Gauß bewies 1831 die Richtigkeit dieser Vermutung.^[5] 1998 legte der amerikanische Mathematiker Thomas Hales einen Computerbeweis vor, dass diese beiden Anordnungen die einzigen mit dichtester Kugelpackung sind. Wie alle Computerbeweise wird auch diese Arbeit in Teilen der mathematischen Fachwelt noch nicht anerkannt.

Unter dichtester Kugelpackung wird die Packungsdichte in einer Anordnung von unendlich vielen Kugeln verstanden. Endlich viele Kugeln weisen deren Wert auch auf, wenn die äußeren Kugeln nur zum Teil mitgezählt werden. Die Grenze des betrachteten Bruttoraumes führt durch die Mittelpunkte dieser Kugeln. In der Theorie der endlichen Kugelpackungen ist der Bruttoraum größer. Die ihn bildende Hülle (z. B. ein Sack für kugelförmige Güter) enthält die äußeren Kugeln in Gänze.

1. ↑ te:c-science.com: gemeinsame Herleitung der Packungsdichte für kubisch-flächenzentriertes und hexagonal dichtest gepacktes Gitter
2. ↑ Siegfried Wetzel: Dichteste Kugelpackung; 8. Die kristallographischen Elementarzellen und ihre Packungsdichten; getrennte Berechnung für kubisch-flächenzentrierte und hexagonale Elementarzelle
3. ↑ Tóth, László Fejes: Dichteste Kugelpackung, Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft Band 27, 1977, S. 319
4. ↑ Siegfried Wetzel: Dichteste Kugelpackung; 2. Schichtweises Errichten von Pyramiden aus Kanonen- oder anderen Kugeln, ff
5. ↑ Gauß, Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen von Ludwig August Seber, Göttingesche Gelehrte Anzeigen, 9. Juli 1831, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 20, 1840, S. 312–320, Gauß, Werke, Göttinger Akademie der Wissenschaften Band 2, 1876, S. 188–196