Die Dimensionsformel entstammt dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume
,
eines größeren Vektorraumes berechnen lässt:
![{\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2}-\dim \left(V_{1}\cap V_{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57257e02e53cce92479b5cf96d2c6ec174153562)
Sie folgt unmittelbar aus dem Rangsatz.
Einen Spezialfall stellt die Situation
dar (siehe Direkte Summe). Die Dimensionsformel reduziert sich in diesem Fall auf
![{\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7856f642435e9e18b845a5d6fafa57d5516dce)
da für eine direkte Summe gilt
![{\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\{0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02f5a3080c5b4f48dd63792afd0c8802bd4543c)
Der Untervektorraum, den der Schnitt von
und
darstellt, ist somit der Nullvektorraum, dessen Dimension gleich Null ist.
Ist
oder
unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die Subtraktion auszuführen. Es gilt jedoch in jedem Fall
![{\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)\geq \max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b219eb312776da4b8ded4dadd7305cdef8beaa69)
und
.
Da für zwei Kardinalzahlen, von denen zumindest eine unendlich ist, die Summe gleich dem Maximum der beiden ist, ist also in dem Fall, dass einer der beiden Teilräume unendlichdimensional ist,
.