Ellipsoid

Ein Ellipsoid ist die dreidimensionale Entsprechung einer Ellipse. So wie sich eine Ellipse als affines Bild des Einheitskreises auffassen lässt, gilt:

• Ein Ellipsoid (als Fläche) ist ein affines Bild der Einheitskugel ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.}$

Die einfachsten affinen Abbildungen sind die Skalierungen der kartesischen Koordinaten. Sie liefern Ellipsoide mit Gleichungen

• ${\displaystyle E_{abc}\colon \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad a,b,c>0.}$

So ein Ellipsoid ist punktsymmetrisch zum Punkt ${\displaystyle (0,0,0)}$, dem Mittelpunkt des Ellipsoids. Die Zahlen ${\displaystyle a,b,c}$ sind analog zu einer Ellipse die Halbachsen des Ellipsoids und die Punkte ${\displaystyle (\pm a,0,0),(0,\pm b,0),(0,0,\pm c)}$ seine 6 Scheitelpunkte.

• Falls ${\displaystyle a=b=c}$ ist, ist das Ellipsoid eine Kugel.
• Falls genau zwei Halbachsen übereinstimmen, ist das Ellipsoid ein prolates oder oblates Rotationsellipsoid.
• Falls die 3 Halbachsen alle verschieden sind, heißt das Ellipsoid triaxial oder dreiachsig.

Alle Ellipsoide ${\displaystyle E_{abc}}$ sind symmetrisch zu jeder der drei Koordinatenebenen. Beim Rotationsellipsoid kommt noch die Rotationssymmetrie bezüglich der Rotationsachse hinzu. Eine Kugel ist zu jeder Ebene durch den Mittelpunkt symmetrisch.

Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind der Rugbyball und abgeplattete rotierende Himmelskörper, etwa die Erde oder andere Planeten (Jupiter), Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien und Zwergplaneten (z. B. (136108) Haumea) können auch triaxial sein.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.