Elliptische Integrale

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt {P(x)}}\right)\mathrm {d} x,}$

wobei ${\displaystyle R}$ eine rationale Funktion in zwei Variablen und ${\displaystyle P(x)}$ ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art: ${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$

II. Art: ${\displaystyle \int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}$

III. Art: ${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(1-nx^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}}$

Dabei ist der "elliptische Modul" ${\displaystyle 0<k<1.}$ Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ statt ${\displaystyle k}$ in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf ${\displaystyle m<0}$ erweitert.