Endliche Geometrie

Die endliche Geometrie ist der Teil der Geometrie, der „klassische“, endliche, geometrische Strukturen, nämlich endliche affine und projektive Geometrien und deren endliche Verallgemeinerungen erforscht und beschreibt. Auch die Strukturen selbst, mit denen sich dieses Teilgebiet der Geometrie und der Kombinatorik befasst, werden als „endliche Geometrien“ bezeichnet.

Allgemein werden heute im Gebiet der endlichen Geometrie die Eigenschaften endlicher Inzidenzstrukturen untersucht, wobei man in der Regel von solchen Strukturen ausgeht, denen eine geometrische Motivation zugrunde liegt, zum Beispiel von endlichen Inzidenzgeometrien. Typische Fälle einer geometrischen Motivation sind die Axiome „durch zwei Punkte geht genau eine Gerade“ oder „durch drei Punkte - auf einer Kugel - geht genau ein Kreis“.

Blockpläne sind die typischen Untersuchungsobjekte der modernen endlichen Geometrie, also auch typische endliche Geometrien. Wenn eine klassische endliche Geometrie wie unten beschrieben als Inzidenzstruktur (Rang-2-Geometrie) betrachtet wird, ist jede endliche, mindestens zweidimensionale affine und projektive Geometrie ein 2-Blockplan, insofern ist der Begriff „Blockplan“ eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe „endliche affine Geometrie“ und „endliche projektive Geometrie“. Die Theorie der Blockpläne wird auch als Design-Theorie (englisch: design theory^[1]) bezeichnet. Dieser Begriff stammt ursprünglich aus der statistischen Versuchsplanung, die zu Anwendungen der endlichen Geometrie in einigen nichtmathematischen Gebieten führt.^[2]

Eine wichtige mathematische Anwendung haben klassische endliche Geometrien und ihre Verallgemeinerungen in der Gruppentheorie und dort insbesondere für die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, da sich gezeigt hat, dass viele einfache Gruppen zum Beispiel alle Gruppen vom Lie-Typ übersichtlich als Automorphismengruppen von endlichen projektiven Geometrien dargestellt werden können. Auf verallgemeinerten Geometrien operieren die fünf sporadischen Mathieu-Gruppen: Sie sind die vollen Automorphismengruppen von fünf bestimmten Wittschen Blockplänen.

1. ↑ Bethe, Jung, Lenz (1986)
2. ↑ Beutelspacher (1982) S. 40: „Diese Bezeichnungen (die Bezeichner für die Parameter eines ${\displaystyle t-(v,k,\lambda )}$- Blockplanes) stammen aus der Theorie der Versuchsplanung, die ja eine der Quellen der endlichen Geometrie ist: ${\displaystyle v}$ ist die Anzahl der varieties, ${\displaystyle b}$ die der blocks und ${\displaystyle r}$ gibt die Anzahl der replications an.“