Eulerscher Polyedersatz

Der Eulersche Polyedersatz (auch: die Eulersche Polyederformel), benannt nach Leonhard Euler, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von beschränkten, zur Sphäre homöomorphen Polyedern^[1] bzw. allgemeiner: von zusammenhängenden planaren Graphen.

Hinter der Formel steckt das topologische Konzept der Euler-Poincaré-Charakteristik ${\displaystyle \chi }$. Die Eulersche Polyederformel ist der Spezialfall für ${\displaystyle d=3}$ (drei Dimensionen) unter stillschweigender Vernachlässigung von ${\displaystyle Z=1}$ (wir betrachten immer einen Körper) und ergibt dann ein ${\displaystyle \chi _{E}=2}$:

${\displaystyle \chi _{E}=E-K+F\qquad =2}$  (${\displaystyle \chi }$ nach Eulerschem Polyedersatz)

${\displaystyle \chi \;\,\,=E-K+F-Z\;\!=1}$  (${\displaystyle \chi }$ nach Euler-Poincaré-Charakteristik)

mit ${\displaystyle E=}$ Anzahl der Ecken, ${\displaystyle K=}$ Anzahl der Kanten, ${\displaystyle F=}$ Anzahl der Flächen und ${\displaystyle Z=}$ Anzahl der Zellen.

Sie gilt (da so definiert) allgemein für Polyeder der Charakteristik ${\displaystyle \chi _{E}=2}$ (bzw. ${\displaystyle \chi =1}$), zu denen ausnahmslos alle konvexen und viele „gutmütige“ konkave Polyeder gehören, siehe dazu Abschnitt Gültigkeit.^[2]

1. ↑ Wenn das Polyeder elastisch wäre und man in sein Inneres eine große Kugel bringen könnte, könnte man es auf dieser Kugel aufspannen.
2. ↑ Darauf wies zuerst Louis Poinsot 1810 hin.