Fehlstand

Unter Fehlstand, Fehlstellung oder Inversion einer Permutation versteht man in der Kombinatorik ein Paar von Elementen einer geordneten Menge, deren Reihenfolge durch die Permutation vertauscht wird. Die Anzahl der Fehlstände einer Permutation heißt Fehlstandszahl oder Inversionszahl der Permutation. Über die Fehlstandszahl lässt sich das Vorzeichen einer Permutation ermitteln, wobei eine gerade Permutation eine gerade Fehlstandszahl und eine ungerade Permutation eine ungerade Fehlstandszahl aufweist.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Darstellung der Fehlstände einer Permutation, beispielsweise über die Inversionstafel, den Lehmer-Code oder das Rothe-Diagramm. Fasst man die Einträge der Inversionstafel oder des Lehmer-Codes als Zahl in einem fakultätsbasierten Zahlensystem auf, kann jeder Permutation eine eindeutige Nummer zugewiesen werden. Weiter lässt sich mit Hilfe der Fehlstände auf der Menge der Permutationen eine partielle Ordnung definieren.

Nachdem die Fehlstandszahl einer Permutation als Maß für die Unordnung der durch die Permutation vertauschten Zahlen angesehen werden kann, spielen Fehlstände eine wichtige Rolle bei der Analyse von Sortierverfahren.