Fundamentallemma der Variationsrechnung

In der Variationsrechnung spielt das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung (englisch Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois-Reymond lemma) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit Fundamentalsatz der Variationsrechnung benannt, fällt jedoch nicht mit diesem zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker Paul Dubois-Reymond zugerechnet wird.^[1][2][3][4]

In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage:^[1]

Sei ${\displaystyle I=[a,b]\subset \mathbb {R} }$ ein kompaktes reelles Intervall und sei ${\displaystyle g\colon I\to \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion.

Es gelte für jede stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle h\colon I\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{g(t)\;h(t)}\;\mathrm {d} t=0}$

Dann ist ${\displaystyle g}$ die Nullfunktion.

Eine andere, aber insgesamt etwas weiter reichende Version des Fundamentallemmas, welche auch mehrdimensionale Integration einbezieht, lautet wie folgt:^[5][6]

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}\;(N\in \mathbb {N} )}$ und sei ${\displaystyle g\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ eine lokal integrierbare Funktion.

Es gelte für jede unendlich oft differenzierbare Funktion ${\displaystyle h\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ mit kompaktem Träger:

${\displaystyle \int _{\Omega }{g(x)\;h(x)}\;\mathrm {d} x=0}$

Dann gilt ${\displaystyle g=0}$ fast überall.

Für eine unmittelbare Anwendung beachte, dass eine lokal integrierbare Funktion ${\displaystyle g\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ durch die Formel

${\displaystyle T_{g}(h):=\int _{\Omega }{g(x)\;h(x)}\;\mathrm {d} x}$

eine Distribution ${\displaystyle T_{g}}$ auf ${\displaystyle \Omega }$ definiert. Nach obigem Lemma sind zwei solche Distributionen ${\displaystyle T_{g_{1}}}$ und ${\displaystyle T_{g_{2}}}$ genau dann gleich, wenn ${\displaystyle g_{1}}$ und ${\displaystyle g_{2}}$ fast überall übereinstimmen (zum Beweis betrachte man ${\displaystyle g_{1}-g_{2}}$).

1. ↑ ^{a b} Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 78 ff.
2. ↑ George Leitmann: The Calculus of Variations and Optimal Control : An Introduction. Plenum Press, New York (u. a.) 1981, S. 14 ff.
3. ↑ Dubois-Reymond, Erläuterungen zu den Anfangsgründen der Variationsrechnung, Mathematische Annalen, Band 15, 1879, S. 283–314, hier S. 297, 300
4. ↑ Oskar Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung, Teubner 1909, S. 26. Nach Bolza stammt der älteste Beweis von Friedrich Stegmann, Lehrbuch der Variationsrechnung, Kassel 1854, dort werden aber einschränkendere Annahmen gemacht.
5. ↑ Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications . 2013, S. 314.
6. ↑ Über weitere Versionen gibt der entsprechende Artikel Fundamental lemma of calculus of variations im englischsprachigen Wikipedia Auskunft.