Jensensche Ungleichung

Die jensensche Ungleichung ist eine elementare Ungleichung für konvexe und konkave Funktionen. Sie ist wegen ihrer Allgemeinheit Grundlage vieler bedeutender Ungleichungen, vor allem in der Analysis und Informationstheorie. Die Ungleichung ist nach dem dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen benannt, der sie am 17. Januar 1905 bei einer Konferenz der Dänischen Mathematischen Gesellschaft präsentierte.^[1] Unter etwas anderen Voraussetzungen findet sie sich bereits 1889 bei Otto Hölder.^[2]

Die jensensche Ungleichung besagt, dass der Funktionswert einer konvexen Funktion an einer endlichen Konvexkombination von Stützstellen stets kleiner oder gleich einer endlichen Konvexkombination von den Funktionswerten der Stützstellen ist. Dies bedeutet insbesondere, dass das gewichtete arithmetische Mittel der Funktionswerte an n Stellen größer oder gleich dem Funktionswert am Mittel dieser n Stellen ist. Für lineare Funktionen gilt stets Gleichheit.

1. ↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In: Acta Math. Band 30, 1906, S. 175–193, doi:10.1007/BF02418571. 
2. ↑ Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Aus dem Jahre 1889., Nr. 1-21. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, S. 38 ff. (in Wikisource [abgerufen am 24. März 2012]).