Konstruierbare Zahl

In der Geometrie und der Algebra heißt eine reelle Zahl ${\displaystyle r}$ konstruierbar, wenn eine Strecke der Länge ${\displaystyle |r|}$ in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus einer Strecke der Länge ${\displaystyle 1}$ konstruiert werden kann. Das ist genau dann der Fall, wenn es einen geschlossenen Ausdruck für ${\displaystyle r}$ gibt, der nur die Zahlen 0 und 1 sowie die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzeln verwendet.

Die geometrische Definition konstruierbarer Zahlen motiviert eine entsprechende Definition konstruierbarer Punkte, die wieder sowohl geometrisch als auch algebraisch beschrieben werden kann. Ein Punkt ist konstruierbar, wenn er ausgehend von einer gegebenen Einheitsstrecke mittels Zirkel und Lineal (als Endpunkt einer Strecke oder als Schnittpunkt zweier Geraden oder Kreise) erzeugt werden kann. Alternativ und äquivalent kann man die Punkte ${\displaystyle (0,0)}$ und ${\displaystyle (1,0)}$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Endpunkte der gegebenen Strecke nehmen, ein Punkt ist dann und nur dann konstruierbar, wenn seine kartesischen Koordinaten konstruierbare Zahlen sind.^[1] Um sie von Punkten aus anderen Konstruktionsprozessen zu unterscheiden, nennt man konstruierbare Punkte auch „Zirkel-und-Lineal-Punkte“.^[2][3]

Die Menge der konstruierbaren Zahlen bildet einen Körper, das heißt, die Anwendung jeder der vier grundlegenden arithmetischen Operationen von Elementen dieser Menge ergibt eine weitere konstruierbare Zahl. Dieser Körper ist eine Körpererweiterung der rationalen Zahlen und ist seinerseits im Körper der algebraischen Zahlen enthalten.^[4] Er ist der euklidische Abschluss der rationalen Zahlen, das heißt, die kleinste Körpererweiterung der rationalen Zahlen, die die Quadratwurzel jedes ihrer positiven Elemente enthält.^[5]

Der Beweis der Äquivalenz der algebraischen und geometrischen Definition der konstruierbaren Zahlen überträgt geometrische Fragen über die Konstruktion mit Zirkel und Lineal in die Algebra, das schließt auch einige berühmte Probleme der klassischen griechischen Mathematik ein. Die algebraische Formulierung dieser Fragen führte zu Beweisen, dass ihre Lösungen nicht konstruierbar sind, nachdem die geometrische Formulierung derselben Probleme jahrhundertelangen Lösungsversuchen widerstehen konnte.

1. ↑ Kazarinoff (2003), Seiten 10, 15
2. ↑ Kasten, Vogel (2018), Seiten 217, 218, 220, 224
3. ↑ Martin (1998), Seiten 31–32
4. ↑ Courant, Robbins (1996), Abschnitt III.2.2, All constructible numbers are algebraic, Seiten 133–134
5. ↑ Kazarinoff (2003), Seite 46