Konvexe Optimierung

Die konvexe Optimierung ist ein Teilgebiet der mathematischen Optimierung.

Es ist eine bestimmte Größe zu minimieren, die sogenannte Zielfunktion, die von einem Parameter ${\displaystyle x}$ abhängt. Außerdem sind bestimmte Nebenbedingungen einzuhalten, das heißt, die Werte ${\displaystyle x}$, die man wählen darf, sind gewissen Einschränkungen unterworfen. Diese sind meist in Form von Gleichungen und Ungleichungen gegeben. Sind für einen Wert ${\displaystyle x}$ alle Nebenbedingungen eingehalten, so sagt man, dass ${\displaystyle x}$ zulässig ist. Man spricht von einem konvexen Optimierungsproblem oder einem konvexen Programm, falls sowohl die Zielfunktion als auch die Menge der zulässigen Punkte konvex ist. Viele Probleme der Praxis sind konvexer Natur. Oft wird zum Beispiel auf Quadern optimiert, welche stets konvex sind, und als Zielfunktion finden oft quadratische Formen wie in der quadratischen Optimierung Verwendung, die unter bestimmten Voraussetzungen ebenfalls konvex sind (siehe Definitheit). Ein anderer wichtiger Spezialfall ist die Lineare Optimierung, bei der eine lineare Zielfunktion über einem konvexen Polyeder optimiert wird.

Eine wichtige Eigenschaft der konvexen Optimierung im Unterschied zur nicht-konvexen Optimierung ist, dass jedes lokale Optimum auch ein globales Optimum ist. Anschaulich bedeutet dies, dass eine Lösung, die mindestens so gut ist wie alle anderen Lösungen in einer Umgebung, auch mindestens so gut ist wie alle zulässigen Lösungen. Dies erlaubt es, einfach nach lokalen Optima zu suchen.