Korrelation (Projektive Geometrie)

Eine Korrelation oder Dualität ist in der projektiven Geometrie ein (Inzidenzstruktur-)Isomorphismus zwischen einer projektiven Ebene und ihrer dualen Ebene.^[1] Von der Ebene wird dabei in den wichtigsten Fällen zusätzlich gefordert, dass sie den Satz von Pappos erfüllt, also durch einen kommutativen Körper koordinatisiert werden kann. Die Darstellung und die Klassifikation von Korrelationen entsprechen weitgehend der von Kollineationen einer projektiven Ebene. Wichtige Unterschiede zu Kollineationen sind: Eine Korrelation der Ebene bildet Punkte auf Geraden und Geraden auf Punkte ab. Während Kollineationen einer projektiven Ebene immer existieren, müssen Korrelationen nicht existieren, wenn die projektive Ebene (oder allgemeiner der projektive Raum) nicht pappossch ist.

Eine wichtige Anwendung haben projektive Polaritäten, das sind doppelverhältnistreue, involutorische^[2] Korrelationen in der absoluten Geometrie, weil eine solche Korrelation dort als absolute Polarität die „Metrik“ eines projektiv-metrischen Raumes kennzeichnet und seine Bewegungsgruppe definiert. Sie sind eine Verallgemeinerung der im Artikel Pol und Polare beschriebenen Zuordnung (einer hyperbolischen projektiven Polarität), die durch einen Kegelschnitt bestimmt ist. Hier kann auch eine projektive Polarität einer bestimmten projektiven Geraden innerhalb eines umfassenderen projektiven Raumes interessant sein: Sie lässt sich durch ein (nicht unbedingt positiv-definites, vielmehr ein formales) Skalarprodukt beschreiben, das auf einer Geraden des projektiven Raumes eine elliptische, projektive Polarinvolution, das heißt eine fixpunktfreie, projektive Polarität auf einer Geraden induziert. Diese Polarinvolution auf einer ausgezeichneten Ferngeraden liefert in der projektiven Beschreibung der absoluten Geometrie für den „euklidischen Sonderfall“ die Invariante, die die projektive Polarität im nichteuklidischen Fall liefert. Hier zeigt sich eine Verwandtschaft zum (zunächst projektiv-zwei-dimensionalen) Minkowski-Raum, der selbst kein Modell einer absoluten Geometrie ist: Die Minkowski-Metrik induziert auf einer ausgezeichneten Ferngeraden der Ebene eine hyperbolische projektive Polarinvolution.

Beispiel: Die Abbildung der reellen projektiven Ebene, die einem Punkt ${\displaystyle (a:b:c)}$ (in homogenen Koordinaten) die Ebene mit der Gleichung ${\displaystyle ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}=0}$ zuordnet und umgekehrt, ist eine Korrelation. Sie ist involutorisch und damit sogar eine Polarität. Da kein Punkt mit seiner Polaren inzidiert, liegt eine elliptische Polarität vor.

Der Begriff Korrelation wird auch im naheliegenden Sinn allgemeiner bei projektiven Räumen höherer Dimension und für nichtdesarguessche Ebenen verwendet.

1. ↑ R. Baer: Linear Algebra and Projective Geometry, Academic Press, 1952, ISBN 012072250X.
2. ↑ In diesem Zusammenhang ist eine Involution eine Abbildung ${\displaystyle \alpha }$ mit ${\displaystyle \alpha ^{2}=1,\alpha \neq 1}$, also nie die Identität, nach Konstruktion kann eine Korrelation ohnehin nicht identisch sein, da sie Punkte auf Geraden abbildet. Bachmann (1973)