Malfatti-Kreis

Die Malfatti-Kreise, später bekannt als Malfattisches Problem,^[1] sind benannt nach Gianfrancesco Malfatti, der 1803 ihre Konstruktion angab.^[2] Bestimmt sind die Malfatti-Kreise – unabhängig von der Form des Ausgangsdreiecks – durch drei Kreise in einem Dreieck mit der Eigenschaft, dass jeder die beiden anderen Kreise von außen und zwei Dreiecksseiten von innen berührt.^[3][4]

Malfatti nahm fälschlich an, dass diese Eigenschaft der Kreise das Problem löse, drei Kreise überschneidungsfrei so in ein Dreieck zu packen, dass sie maximalen Flächeninhalt haben. Warum die Malfatti-Kreise dieses sogenannte Malfatti’sche Maximierungsproblem, sprich die maximale Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise, nicht lösen, lässt sich z. B. leicht an einem langen schmalen rechtwinkligen Dreieck erkennen.^[5]

Für die Radien der Malfatti-Kreise eines Dreiecks ABC gilt:^[6]

${\displaystyle r_{A}={\frac {r}{2(s-a)}}(s-r-({\overline {IB}}+{\overline {IC}}-{\overline {IA}}))}$

${\displaystyle r_{B}={\frac {r}{2(s-b)}}(s-r-({\overline {IC}}+{\overline {IA}}-{\overline {IB}}))}$

${\displaystyle r_{C}={\frac {r}{2(s-c)}}(s-r-({\overline {IA}}+{\overline {IB}}-{\overline {IC}}))}$

Dabei steht ${\displaystyle r}$ für den Inkreisradius und ${\displaystyle s}$ für den halben Dreiecksumfang. ${\displaystyle I}$ ist der Inkreismittelpunkt und ${\displaystyle \omega _{\alpha },\omega _{\beta },\omega _{\gamma }}$ sind die drei Winkelhalbierenden.

1. ↑ Kurt Loeber: Geschichtlicher Überblick (Einleitung). In: Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und seiner Erweiterungen. SUB Göttingen, Götinger Digitalisierungszentrum, 1914, S. 1, abgerufen am 15. November 2020. 
2. ↑ Gianfrancesco Malfatti: Memoria sopra un problema stereotomica. (PDF; 966 kB) Memorie di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze, No. 10, 1, 1803, S. 235–244, abgerufen am 15. November 2020.
3. ↑ Gianfrancesco Malfatti: Memoria sopra un problema stereotomica. (PDF; 966 kB) Memorie di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze, No. 10, 1, 1803, S. 243 ff, abgerufen am 15. November 2020.
4. ↑ Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story Seite 1. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 19. November 2020. 
5. ↑ Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story Seite 2. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 7. November 2020. 
6. ↑ Raúl Ibáñez: El problema de Malfatti. culturacientifica, Matemoción, 5. April 2017, abgerufen am 5. Oktober 2018 (spanisch).