Mandelstam-Variable

Bei den Mandelstam-Variablen s, t und u (nach Stanley Mandelstam, der sie 1958 einführte) handelt es sich um Kurzschreibweisen für Terme, die in der Teilchenphysik bei der Berechnung von Streuprozessen mit zwei einlaufenden und zwei auslaufenden Teilchen häufig auftauchen.

Sind die Viererimpulse der beiden einlaufenden Teilchen mit ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ und die der auslaufenden Teilchen mit ${\displaystyle p_{3},p_{4}}$ bezeichnet, so sind die Mandelstam-Variablen gegeben durch:

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}}$ ist gleich dem Quadrat der Schwerpunktsenergie des Systems (s-Kanal).

${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}}$ ist gleich dem Quadrat des Viererimpuls-Übertrags bei einem gewöhnlichen Streuprozess wie der Elektron-Nukleon-Streuung (t-Kanal).

${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}}$

Das in diesen Definitionen auftauchende Quadrat von Viererimpulsen ist dabei – wie in der relativistischen Physik üblich – definiert als ${\displaystyle p^{2}:=p_{\mu }p^{\mu }}$ (siehe Vierervektor). Die Mandelstam-Variablen sind damit lorentzinvariante Skalare ebenso wie die Streuamplitude selbst, die durch sie in relativistisch invarianter Weise ausgedrückt werden soll.

Die drei Mandelstamvariablen sind nicht voneinander unabhängig; ihre Summe ist gleich der Summe der Massenquadrate der beteiligten Teilchen:

${\displaystyle s+t+u=p_{1}{}^{2}+p_{2}{}^{2}+p_{3}{}^{2}+p_{4}{}^{2}=m_{1}{}^{2}+m_{2}{}^{2}+m_{3}{}^{2}+m_{4}{}^{2}}$,

wobei wie in der Teilchenphysik üblich der dimensionslose Wert c=1 für die Lichtgeschwindigkeit angenommen ist (natürliche Einheiten).

Allgemein sollte die Streuamplitude, da sie eine relativistische Invariante ist, von den relativistischen Invarianten ${\displaystyle {p_{i}}^{2}}$ (i = 1, 2, 3, 4) und den sechs möglichen unabhängigen (relativistischen) Skalarprodukten ${\displaystyle p_{1}\cdot p_{2},\,p_{1}\cdot p_{3},\,p_{1}\cdot p_{4},\,p_{2}\cdot p_{3},\,p_{2}\cdot p_{4},\,p_{3}\cdot p_{4}}$ abhängen – auch die Mandelstamvariablen s, t, u sind aus diesen als Linearkombination zusammengesetzt. Die ${\displaystyle {p_{i}}^{2}}$ sind keine Variablen wegen ${\displaystyle {p_{i}}^{2}={m_{i}}^{2}}$ (die äußeren Beine der Feynmandiagramme sind on shell). Wegen der Erhaltung ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}}$ der Viererimpulse (was vier Gleichungen ergibt, da die ${\displaystyle p_{i}}$ je vier Komponenten haben) sind von den sechs Skalarprodukten ${\displaystyle p_{i}\cdot p_{j}}$ nur zwei unabhängig. Also sind auch nur zwei der Mandelstam-Variablen unabhängig, die dritte ergibt sich aus der o. g. Summe.