Offene Menge

In der Mathematik ist eine offene Menge eine Verallgemeinerung eines offenen Intervalles. Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt. Die Komplementärmenge einer offenen Menge nennt man abgeschlossene Menge. Diese Mengen sind dadurch charakterisiert, dass sie alle ihre Häufungspunkte enthalten.

Ein einfaches Beispiel einer offenen Menge ist das Intervall ${\displaystyle (0,1)}$ in den reellen Zahlen. Jede reelle Zahl ${\displaystyle x}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle 0<x<1}$ ist nur von Zahlen mit derselben Eigenschaft umgeben: Wähle als Umgebung die Menge ${\displaystyle (x/2,1/2+x/2)}$, dann sind das die Zahlen zwischen 0 und 1. Deshalb nennt man das Intervall ${\displaystyle (0,1)}$ ein offenes Intervall. Dagegen ist das Intervall ${\displaystyle (0,1]}$ nicht offen, denn „rechts“ vom Element 1 (größer als 1) ist kein Element des Intervalls ${\displaystyle (0,1]}$ mehr.

Ob eine Menge offen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die rationalen Zahlen ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle 0<x<1}$ bilden eine offene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen, da jedes Intervall reeller Zahlen mit mehr als einem Element auch irrationale Zahlen enthält.

Zu beachten ist, dass es sowohl Mengen gibt, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie etwa das Intervall ${\displaystyle (0,1]}$, als auch Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, werden als abgeschlossene offene Menge oder nach dem englischen Begriff als clopen set bezeichnet.

Die Unterscheidung offener und abgeschlossener Mengen lässt sich auch mit Hilfe des Randes einer Menge treffen. Gehört dieser vollständig zur Menge dazu, so ist sie abgeschlossen. Gehört der Rand vollständig zum Komplement der Menge, so ist die Menge offen.

Der Begriff der offenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Wir gehen hier vom anschaulichen euklidischen Raum über den metrischen Raum zum allgemeinsten Kontext, dem topologischen Raum.