Pauli-Gleichung

Die Pauli-Gleichung ist die von Wolfgang Pauli (1900–1958) angegebene^[1] Erweiterung der Schrödingergleichung, um geladene Spin-1/2-Teilchen, etwa Elektronen in nicht-relativistischer Näherung zu beschreiben. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödingergleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Damit kann man z. B. beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen, warum ein Strahl von Silberatomen sich beim Durchfliegen eines inhomogenen Magnetfelds je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufspaltet.

Die Pauli-Gleichung lautet:

${\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi =\underbrace {\left({\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right)} _{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi -g\,\underbrace {{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\vec {B}}} _{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi \,}$

Hier bezeichnet

• ${\displaystyle \varphi ={\begin{pmatrix}\varphi _{\uparrow }(t,{\vec {x}})\\\varphi _{\downarrow }(t,{\vec {x}})\end{pmatrix}}}$ die zweikomponentige Ortswellenfunktion (Paulispinor)
• ${\displaystyle p^{i}=-\mathrm {i} \hbar \partial _{x^{i}}\,,i\in \{1,2,3\}\,,}$ die ${\displaystyle i}$-te Komponente des Impulsoperators,
• ${\displaystyle \,q}$ die elektrische Ladung und ${\displaystyle \,m}$ die Masse des Teilchens,
• ${\displaystyle \,\phi }$ das skalare elektrische Potential und ${\displaystyle {\vec {A}}}$ das magnetische Vektorpotential,
• ${\displaystyle \,g}$ den gyromagnetischen Faktor,
• ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ die Pauli-Matrizen (mit dem Spin-Operator ${\displaystyle {\vec {S}}=\hbar \,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}}$),
• ${\displaystyle {\vec {B}}={\text{rot}}\,{\vec {A}}}$ das Magnetfeld.

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld ${\displaystyle {\vec {B}}}$ koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor ${\displaystyle g}$ stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls ${\displaystyle {\vec {L}}\,,}$

${\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2\,m}}\varphi -{\frac {q}{2\,m}}\,{\bigl (}{\vec {L}}+g\,{\vec {S}}{\bigr )}\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.}$

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert ${\displaystyle g=2}$ für den gyromagnetischen Faktor von Elektronen voraus. Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrödingergleichung berechnet werden^[2]. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

${\displaystyle g=2,002\,319\,304\,8(8)\,.}$

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

1. ↑ Wolfgang Pauli: Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. In: Zeitschrift für Physik. Band 43, 1927, S. 601–623, doi:10.1007/BF01397326. 
2. ↑ Walter Greiner: Quantenmechanik. Einführung. Band 4, ISBN 3-8171-1765-5.