Eine projektiv-metrische Geometrie ist eine mindestens zweidimensionale projektive Geometrie über einem Körper mit einer metrischen Zusatzstruktur. Durch diese zusätzliche Struktur kann man die „Orthogonalitätsrelation“ einer metrischen absoluten Geometrie in dem projektiven Raum beschreiben, in den sich die metrische absolute Geometrie einbetten lässt. Zugleich zeichnet diese Zusatzstruktur eine bestimmte Untergruppe in der Gruppe aller Projektivitäten des Raumes aus: Sie ist die Invarianz- oder Verträglichkeitsgruppe der Polarität bzw. Polarinvolution, durch die die Orthogonalität der nichteuklidischen bzw. euklidischen Geometrie im projektiven Raum dargestellt wird.
In zwei Hauptfällen der absoluten Geometrie, der elliptischen Geometrie und der euklidischen Geometrie bestimmt der projektive Raum zusammen mit der „polaren Struktur“ die eingebettete Geometrie eindeutig. Nur im Falle der elliptischen Geometrie stellt der projektive Raum selbst mit seiner projektiven Polarität ein Modell der absoluten Geometrie dar.
Die projektiv-metrische Geometrie ist im folgenden Sinn reichhaltiger als die metrische absolute Geometrie: Nicht zu jedem projektiv-metrischen Raum existiert eine absolute Geometrie.
Andererseits ist die projektiv-metrische Geometrie „vergesslich“: Für den hyperbolischen Hauptfall und alle Nebenfälle, z. B. die halbelliptischen Ebenen, lässt sich die ursprüngliche metrische Ebene im Allgemeinen nur dann nach der Einbettung bis auf Isomorphie eindeutig zurückgewinnen, wenn man neben der Invarianzgruppe[1], die durch die polare Struktur eindeutig bestimmt ist, auch noch ein bestimmtes Erzeugendensystem dieser Invarianzgruppe, das in der metrischen Ebene die senkrechten Achsenspiegelungen und die Geraden der Geometrie repräsentiert, fest hält.
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