Projektiver Raum

Der projektive Raum ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Geometrie. Dieser Raum kann aufgefasst werden als die Menge aller Geraden durch den Ursprung eines Vektorraums ${\displaystyle V}$. Ist ${\displaystyle V}$ der reelle zweidimensionale Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, so nennt man ihn reelle projektive Gerade, und im Falle ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$ heißt er reelle projektive Ebene. Analog definiert man projektive Geraden und projektive Ebenen über beliebigen Körpern als die Mengen der Ursprungsgeraden in einem zwei- bzw. dreidimensionalen Vektorraum über dem jeweiligen Körper. Projektive Ebenen können in der Inzidenzgeometrie auch axiomatisch charakterisiert werden, dabei erhält man auch projektive Ebenen, die nicht den Geraden in einem Vektorraum entsprechen.^[1]

Die Idee der projektiven Räume steht in Beziehung zur Zentralprojektion aus der darstellenden Geometrie und Kartenentwurfslehre bzw. zur Art und Weise, wie das Auge oder eine Kamera eine dreidimensionale Szene auf ein zweidimensionales Abbild projiziert. Alle Punkte, die gemeinsam mit der Linse der Kamera auf einer Linie liegen, werden auf einen gemeinsamen Punkt projiziert. In diesem Beispiel ist der zugrunde liegende Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, die Kameralinse ist der Ursprung und der projektive Raum entspricht den Bildpunkten.

1. ↑ Beutelspacher (1982)