Satz von Pappos

Der Satz von Pappos (Pappus), gelegentlich auch Satz von Pappos-Pascal genannt, ist ein zentraler Satz in der affinen und projektiven Geometrie.^[1] Er tauchte erstmals als Proposition 139 im VII. Buch der Mathematischen Sammlungen des antiken griechischen Mathematikers Pappos von Alexandria auf.^[2] Blaise Pascal fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten Satz von Pascal, bei dem die sechs Grundpunkte des Satzes auf einem Kegelschnitt liegen.

Der Satz lautet in seiner allgemeineren projektiven Form:

Liegen sechs Punkte ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5},P_{6}}$ einer projektiven Ebene abwechselnd auf zwei Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$, so sind die Punkte

${\displaystyle P_{7}:=P_{1}P_{2}\cap P_{4}P_{5},}$

${\displaystyle P_{8}:=P_{6}P_{1}\cap P_{3}P_{4},}$

${\displaystyle P_{9}:=P_{2}P_{3}\cap P_{5}P_{6}}$

kollinear, d. h., sie liegen auf einer Geraden ${\displaystyle u}$ (siehe Bild).

Sind die beiden Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ durch die Sechseckpunkte und die Gerade ${\displaystyle u}$ kopunktal, so spricht man auch vom kleinen Satz von Pappos.

Da sich zwei Geraden in einer affinen Ebene nicht unbedingt schneiden, wird der Satz zusätzlich noch in einer spezielleren affinen Form formuliert:

Liegen sechs Punkte ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5},P_{6}}$ einer affinen Ebene abwechselnd auf zwei Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ und sind sowohl das

Geradenpaar ${\displaystyle P_{1}P_{2},P_{4}P_{5}}$ als auch das

Geradenpaar ${\displaystyle P_{2}P_{3},P_{5}P_{6}}$ parallel,

so sind auch ${\displaystyle P_{3}P_{4}}$ und ${\displaystyle P_{6}P_{1}}$ parallel (s. Bild).

Im projektiven Abschluss der zugrunde liegenden affinen Ebene schneiden sich die drei parallelen Geradenpaare auf der uneigentlichen Geraden ${\displaystyle u}$, und es entsteht die projektive Form des Satzes von Pappos.

1. ↑ Strenggenommen müsste er heute als „Axiom“ bezeichnet werden, da er zwar in der reellen Geometrie stets gilt, aber in den heute als „affin“ bzw. „projektiv“ bezeichneten Geometrien nur genau dann, wenn die betrachtete Geometrie durch einen Körper koordinatisiert werden kann. Heinz Lüneburg: Die euklidische Ebene und ihre Verwandten. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1999, ISBN 3-7643-5685-5, III: Papossche Ebenen. 
2. ↑ Carl Immanuel Gerhardt: Die Sammlung des Pappus von Alexandrien, griechisch und deutsch in 2 Bänden. H. W. Schmidt, Halle / Eisleben (1871, 1875).