Torus

Ein Torus (Plural Tori, von lateinisch torus)^[1][2] ist ein mathematisches Objekt aus der Geometrie und der Topologie. Er ist eine wulstartig geformte Fläche mit einem Loch, ähnlich der Gestalt eines Rettungsrings, Fahrradschlauchs oder Donuts.

Beispiele für im dreidimensionalen Raum eingebettete Tori sind die Rotationstori. Rotationstori sind Rotationsflächen, die man erhält, indem man einen Kreis um eine Achse rotieren lässt, die in der Kreisebene liegt und den Kreis nicht schneidet. Falls man nicht nur die Kreislinie, sondern die gesamte Kreisfläche rotieren lässt, erhält man einen Volltorus.

Anders ausgedrückt wird ein Rotationstorus aus derjenigen Menge an Punkten gebildet, die von einer Kreislinie mit Radius ${\displaystyle R}$ den festen Abstand ${\displaystyle r}$ mit ${\displaystyle r<R}$ haben.

Ein Torus kann auch durch Identifizieren der Seiten eines Parallelogramms konstruiert werden. Dabei wird die rechte Kante des Parallelogramms mit seiner linken Kante und die obere mit der unteren Kante verheftet. Diese Topologie benutzen auch viele Computerspiele: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Beide Konstruktionen sind Spezialfälle der allgemeinen mathematischen Definition, die einen Torus als das topologische Produkt zweier Kreise definiert. Dieser Begriff spielt in zahlreichen Gebieten der Mathematik eine Rolle, neben Topologie und Differentialgeometrie ist er unter anderem in der Fourier-Analysis, der Theorie dynamischer Systeme (invariante Tori in der Himmelsmechanik), der Funktionentheorie und der Theorie elliptischer Kurven von Bedeutung.

Rotationstori liefern eine konkrete rotationssymmetrische Realisierung dieser Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum. Von besonderer Wichtigkeit für viele Anwendungen in theoretischer Mathematik und Physik sind sogenannte flache Tori und ihre Einbettung in den vierdimensionalen Raum. Diese haben die Krümmung null und die maximal mögliche Symmetrie.

Der Torus ist eine zweidimensionale Fläche. Allgemeiner betrachtet man in der Mathematik auch den ${\displaystyle n}$-Torus, eine den zweidimensionalen Torus verallgemeinernde ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Davon abweichend finden sich in der deutschsprachigen Literatur gelegentlich auch die Bezeichnungen Doppeltorus, Tripeltorus etc. für Flächen mit zwei, drei und mehr Löchern.

1. ↑ Karl Ernst Georges: torus. [1]. In: Ausführliches lateinisch-deutsches Handwörterbuch. 8., verbesserte und vermehrte Auflage. Band 2. Hahnsche Buchhandlung, Hannover 1918, Sp. 3158–3159 (Digitalisat. zeno.org). 
2. ↑ Es gibt noch eine Reihe weiterer heute nicht mehr gebräuchlicher historischer Verwendungen des Begriffs Torus: Torus. In: Herders Conversations-Lexikon. 1. Auflage. Band 5. Herder, Freiburg im Breisgau 1857, S. 500 (Digitalisat. zeno.org).  Torus. In: Heinrich August Pierer, Julius Löbe (Hrsg.): Universal-Lexikon der Gegenwart und Vergangenheit. 4. Auflage. Band 17: Stückgießerei–Türkische Regenkugel. Altenburg 1863, S. 707 (Digitalisat. zeno.org).  Torus. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 19: Sternberg–Vector. Bibliographisches Institut, Leipzig / Wien 1909, S. 631 (Digitalisat. zeno.org).  Torus. In: Brockhaus’ Kleines Konversations-Lexikon. 5. Auflage. Band 2. Brockhaus, Leipzig 1911, S. 851 (Digitalisat. zeno.org).  Torus. In: Encyclopædia Britannica. 11. Auflage. Band 27: Tonalite – Vesuvius. London 1911, S. 79 (englisch, Volltext [Wikisource]).