Untervektorraum

Ein Untervektorraum, Teilvektorraum, linearer Unterraum oder linearer Teilraum ist in der Mathematik eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum darstellt. Dabei werden die Vektorraumoperationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation von dem Ausgangsraum auf den Untervektorraum vererbt. Jeder Vektorraum enthält sich selbst und den Nullvektorraum als triviale Untervektorräume.

Jeder Untervektorraum ist das Erzeugnis einer linear unabhängigen Teilmenge von Vektoren des Ausgangsraums. Die Summe und der Durchschnitt zweier Untervektorräume ergibt wieder einen Untervektorraum, dessen Dimension über die Dimensionsformel ermittelt werden kann. Jeder Untervektorraum besitzt mindestens einen Komplementärraum, sodass der Ausgangsraum die direkte Summe aus dem Untervektorraum und seinem Komplement ist. Weiter kann jedem Untervektorraum ein Faktorraum zugeordnet werden, der dadurch entsteht, dass alle Elemente des Ausgangsraums entlang des Untervektorraums parallelprojiziert werden.

Untervektorräume werden in der linearen Algebra unter anderem dazu verwendet, Kern und Bild von linearen Abbildungen, Lösungsmengen von linearen Gleichungen und Eigenräume von Eigenwertproblemen zu charakterisieren. In der Funktionalanalysis werden insbesondere Untervektorräume von Hilberträumen, Banachräumen und Dualräumen untersucht. Untervektorräume besitzen vielfältige Anwendungen, beispielsweise bei numerischen Lösungsverfahren für große lineare Gleichungssysteme und für partielle Differentialgleichungen, bei Optimierungsproblemen, in der Kodierungstheorie und in der Signalverarbeitung.