Urbild (Mathematik)

In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff, der im Zusammenhang mit Funktionen verwendet wird. Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ist das Urbild einer Menge ${\displaystyle M\subseteq B}$ jene Teilmenge der Definitionsmenge ${\displaystyle A}$, deren Elemente auf die vorher festgelegte Untermenge ${\displaystyle M}$ der Zielmenge ${\displaystyle B}$ abgebildet werden. Das Urbild ist also die Antwort auf die Frage: Welche Elemente aus der Definitionsmenge werden auf Elemente der Menge ${\displaystyle M}$ abgebildet? Man sagt dann auch Urbild von ${\displaystyle M}$ unter ${\displaystyle f}$.

Das Urbild eines einzelnen Elements ${\displaystyle b}$ der Zielmenge ist die aus allen ${\displaystyle a\in A}$ mit ${\displaystyle f(a)=b}$ bestehende Teilmenge der Definitionsmenge. Das Urbild der Bildmenge ${\displaystyle \operatorname {im} f:=f(A)\subseteq B}$ (und natürlich erst recht der ganzen Zielmenge ${\displaystyle B}$) ist genau die Definitionsmenge ${\displaystyle A}$, da Funktionen linkstotal sind, also jedem Element der Definitionsmenge mindestens ein Element der Zielmenge (und genau ein Element der Bildmenge) zuordnen.