Variationsrechnung

Die Variationsrechnung ist ein mathematisches Teilgebiet der Analysis, in welchem kleine Änderungen in Funktionen und Funktionalen studiert werden, um Minima und Maxima von Funktionalen zu bestimmen.

Dieses (unendlichdimensionale) Optimierungsproblem mit Anwendungen in der theoretischen und der mathematischen Physik wurde um die Mitte des 18. Jahrhunderts insbesondere von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange zu einem Fachgebiet entwickelt.^[1] Die Variationsrechnung, ihre verwandten Themen und Anwendungen sind Gegenstand aktueller Lehre,^[2] Weiterentwicklung^[3] und Forschung.^[4] Die Frage „Wie können die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden?“ ist das 23. Problem auf Hilberts Liste. Weitere Beiträge lieferten u. a. die Mathematiker Ennio De Giorgi und Charles Morrey. Ihre Forschungsarbeiten führte zur Lösung des 19. Hilbert-Problems mit der Herausforderung „Sind alle Lösungen von regulären Variationsproblemen analytisch?“. Die von der deutschen Mathematikerin Emmy Noether entwickelten Theoreme, die mit der Variationsrechnung zusammenhängen,^[5][6] spielen heutzutage eine bedeutende Rolle in der modernen Physik (Symmetrie). Der US-Mathematikerin Karen Uhlenbeck wurde 2019 der Abelpreis zugesprochen.^[7] Uhlenbeck hat sich intensiv mit der Variationsrechnung befasst.^[8]

1. ↑ Jeremy Gray: Change and Variations: A History of Differential Equations to 1900 (= Springer Undergraduate Mathematics Series). Springer International Publishing, Cham 2021, ISBN 978-3-03070574-9, doi:10.1007/978-3-030-70575-6 (englisch). 
2. ↑ Mathematik für Physiker 2 (= Springer-Lehrbuch). Springer, Berlin/Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72251-9, doi:10.1007/978-3-540-72252-6. 
3. ↑ Hubert Goldschmidt, Shlomo Sternberg: The Hamilton-Cartan formalism in the calculus of variations. In: Annales de l’institut Fourier. Band 23, Nr. 1, 1973, ISSN 0373-0956, S. 203–267, doi:10.5802/aif.451 (centre-mersenne.org [abgerufen am 21. Oktober 2022]). 
4. ↑ Vladimir I. Pupyshev, H. E. Montgomery: Some problems in applications of the linear variational method. In: European Journal of Physics. Band 36, Nr. 5, 1. September 2015, ISSN 0143-0807, S. 055043, doi:10.1088/0143-0807/36/5/055043. 
5. ↑ E. Noether, M. A. Tavel: Invariant Variation Problems. In: Transport Theory and Statistical Physics. Band 1, Nr. 3, Januar 1971, ISSN 0041-1450, S. 186–207, doi:10.1080/00411457108231446, arxiv:physics/0503066. 
6. ↑ Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Klassische Variationsprobleme. In: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Springer Vienna, Wien 1982, ISBN 978-3-7091-2261-7, S. 74–124, doi:10.1007/978-3-7091-2260-0_6. 
7. ↑ The Abel Prize. 2019: Karen Keskulla Uhlenbeck. Abgerufen am 18. Oktober 2022. 
8. ↑ Simon Donaldson: Karen Uhlenbeck and the Calculus of Variations. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 66, Nr. 03, 1. März 2019, ISSN 0002-9920, S. 1, doi:10.1090/noti1806 (ams.org [PDF; abgerufen am 18. Oktober 2022]).