Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, oft kurz Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte, Verteilungsdichte oder nur Dichte genannt und mit WDF oder englisch PDF (probability density function) abgekürzt, ist eine spezielle reellwertige Funktion in der Stochastik. Dort dienen die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zur Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mithilfe von Integralen sowie zur Untersuchung und Klassifikation von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Im Gegensatz zu Wahrscheinlichkeiten können Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen auch Werte über eins annehmen. Die Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen beruht auf der Idee, dass die Fläche zwischen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und der x-Achse von einem Punkt ${\displaystyle a}$ bis zu einem Punkt ${\displaystyle b}$ der Wahrscheinlichkeit entspricht, einen Wert zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zu erhalten. Nicht der Funktionswert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist somit relevant, sondern die Fläche unter ihrem Funktionsgraphen, also das Integral.

In einem allgemeineren Kontext handelt es sich bei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen um Dichtefunktionen (im Sinne der Maßtheorie) bezüglich des Lebesgue-Maßes.

Während im diskreten Fall Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen durch Aufsummieren der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elementarereignisse berechnet werden können (ein idealer Würfel zeigt beispielsweise jede Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$), gilt dies nicht mehr für den stetigen Fall. Beispielsweise sind zwei Menschen kaum exakt gleich groß, sondern nur bis auf Haaresbreite oder weniger. In solchen Fällen sind Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen nützlich. Mit Hilfe dieser Funktionen lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Intervall – beispielsweise eine Körpergröße zwischen 1,80 m und 1,81 m – bestimmen, obwohl unendlich viele Werte in diesem Intervall liegen, von denen jeder einzelne die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 0}$ hat.