Wall-Sun-Sun-Primzahl

Eine Wall-Sun-Sun-Primzahl, benannt nach D. D. Wall, Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun, ist eine Primzahl p > 5, für die die durch p teilbare Zahl

${\displaystyle F{\bigl (}p-{\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}{\bigr )}}$

durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar ist. Dabei ist F(n) die n-te Fibonacci-Zahl und ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {a}{b}}{\bigr )}}$ das Legendre-Symbol von a und b, also ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}}$ ist 1, wenn 5 ein Teiler von ${\displaystyle p^{2}-1}$ ist, und ${\displaystyle -1}$ sonst. D. D. Wall stellte 1960 die Frage, ob solche Primzahlen existieren.^[1] Die Frage ist bis heute offen, insbesondere sind keine Wall-Sun-Sun-Primzahlen bekannt. Wenn eine Wall-Sun-Sun-Primzahl existiert, muss sie größer als 9,7 × 10¹⁴ sein.^[2] Es gibt die Vermutung, dass unendlich viele existieren.^[3]

Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun zeigten 1992, dass eine ungerade Primzahl p eine Wall-Sun-Sun-Primzahl ist, wenn ein bestimmtes Gegenbeispiel zur Fermatschen Vermutung existiert, nämlich nicht durch p teilbare ganze Zahlen x, y, z mit x^p + y^p = z^p.^[4] Diese Eigenschaft hatte auch Wieferich 1909 für Wieferich-Primzahlen nachgewiesen. Mit dem Beweis der Vermutung 1995 ist allerdings geklärt, dass kein Gegenbeispiel existiert, also die Voraussetzung nicht erfüllt werden kann.

1. ↑ D. D. Wall: Fibonacci series modulo m. In: American Mathematical Monthly, 67, 1960, S. 525–532 (englisch)
2. ↑ François G. Dorais, Dominic W. Klyve: A Wieferich prime search up to 6.7 × 10¹⁵. In: Journal of Integer Sequences, 14, 16. Oktober 2011, Artikel 11.9.2 (englisch)
3. ↑ Jiří Klaška: Short remark on Fibonacci-Wieferich primes. In: Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, 15, 2007, S. 21–25 (englisch)
4. ↑ Zhi-Hong Sun, Zhi-Wei Sun: Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem. (PDF; 186 kB) In: Acta Arithmetica, 60, 1992, S. 371–388