Wohlordnungssatz

Der Wohlordnungssatz, manchmal auch Wohlordnungsprinzip genannt, ist eine Aussage der Mengenlehre und besagt:

Jede Menge kann wohlgeordnet werden.

Dieses Theorem erlaubt die Anwendung der transfiniten Induktion auf jeder Menge. Der Wohlordnungssatz ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre, hielt den Wohlordnungssatz für ein „grundlegendes Denkgesetz“. Vielen Mathematikern schien aber schwer vorstellbar, dass etwa auf der Menge der reellen Zahlen eine Wohlordnung existieren solle. So glaubte denn auch 1904 Julius König, dies widerlegt zu haben; Felix Hausdorff fand jedoch wenig später einen Fehler im Widerlegversuch. Ernst Zermelo führte das Auswahlaxiom als „unbedenkliches logisches Prinzip“ ein, um den Wohlordnungssatz zu beweisen; dieses stellte sich jedoch schnell als äquivalent zum Wohlordnungssatz heraus. Das Auswahlaxiom und somit der Wohlordnungssatz sind unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, d. h. sowohl der Satz als auch sein Gegenteil lassen sich widerspruchsfrei voraussetzen, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome voraussetzt. Tatsächlich lässt sich zeigen, dass zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre allein (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht zulassen.^[1]

1. ↑ Paul J. Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis. 1966.