Zufallsvariable

In der Stochastik ist eine Zufallsvariable (auch zufällige Variable^[1], zufällige Größe^[2], zufällige Veränderliche^[1], zufälliges Element^[1], Zufallselement^[3], Zufallsveränderliche^[4][5]) eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist.^[6] Formal ist eine Zufallsvariable eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Größe zuordnet.^[2] Ist diese Größe eine reelle Zahl, so spricht man von einer reellen Zufallsvariablen oder Zufallsgröße^[1]. Beispiele für reelle Zufallsvariablen sind die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln und die Gewinnhöhe in einem Glücksspiel. Zufallsvariablen können aber auch komplexere mathematische Objekte sein, wie Zufallsfelder, Zufallsbewegungen, Zufallspermutationen oder Zufallsgraphen. Über verschiedene Zuordnungsvorschriften können einem Zufallsexperiment auch verschiedene Zufallsvariablen zugeordnet werden.^[2]

Den einzelnen Wert, den eine Zufallsvariable bei der Durchführung eines Zufallsexperiments annimmt, nennt man Realisierung^[7] oder im Falle eines stochastischen Prozesses einen Pfad. Bei der Zufallszahlenerzeugung werden Realisierungen spezieller Zufallsexperimente als Zufallszahlen bezeichnet.

Während A. N. Kolmogorow zunächst von durch den Zufall bestimmten Größen sprach^[8][9], führte er 1933 den Begriff zufällige Größe ein^[10] und sprach später von Zufallsgrößen.^[11] Im Jahr 1933 ist auch schon der Begriff Zufallsvariable in Gebrauch.^[12] Bereits 1935 ist der Begriff zufällige Variable nachweisbar.^[13] Später hat sich (ausgehend vom englischen random variable, das sich gegen chance variable und stochastic Variable durchsetzte^[14]) der etwas irreführende Begriff^[15] Zufallsvariable durchgesetzt.

1. ↑ ^{a b c d} P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-05-500608-9, Zufällige Variable (random variable), S. 511. 
2. ↑ ^{a b c} Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen Bewersdorff2012.
3. ↑ Peter Gänssler, Winfried Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1977, ISBN 3-540-08418-5, Kap. VIII Zufallselemente in metrischen Räumen, doi:10.1007/978-3-642-66749-7. 
4. ↑ S. Goldberg: Die Wahrscheinlichkeit. Vieweg, Braunschweig 1960, ISBN 3-663-01040-6, Kap IV. Zufallsveränderliche (Zufallsvariable), doi:10.1007/978-3-663-02953-3. 
5. ↑ Pál Révész: Die Gesetze der Grossen Zahlen (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Band 35). Birkhäuser, Basel 1980, ISBN 3-0348-6941-X, Kap. 2 Unabhängige Zufallsveränderliche, doi:10.1007/978-3-0348-6940-9 (Originalausgabe: The Laws of Large Numbers, Budapest 1967, übersetzt von Eva Vas). 
6. ↑ Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 12.
7. ↑ David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 456–457, doi:10.1007/b137972. 
8. ↑ Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow: Über die Summen durch den Zufall bestimmter unabhängiger Größen. In: Mathematische Annalen. Band 99, 1928, S. 309 ff. (uni-goettingen.de). 
9. ↑ Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow: Bemerkungen zu meiner Arbeit „Über die Summen durch den Zufall bestimmter unabhängiger Größen“. In: Mathematische Annalen. Band 99, 1930, S. 484 ff. (uni-goettingen.de). 
10. ↑ Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, Berlin 1933. 
11. ↑ Boris Gnedenko, Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow: Grenzverteilung von Summen unabhängiger Zufallsgrößen. Akademie Verlag, 1959. 
12. ↑ Z. Birnbaum, J. Schreier: Anmerkung zum starken Gesetz der großen Zahlen. In: Studia Mathematica. Band 4, 1933, doi:10.4064/sm-4-1-85-89. 
13. ↑ Oskar N. Anderson: Einführung in die Mathematische Statistik. Springer, Wien 1935, ISBN 3-7091-5873-7, Kap 2.6 Zufällige Variable, S. 167, doi:10.1007/978-3-7091-5923-1. 
14. ↑ Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Abschnitt R.
15. ↑ Eine Zufallsvariable ist weder zufällig, noch eine Variable, siehe Jürgen Hedderich, Lothar Sachs: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 15. Auflage. 2016, ISBN 978-3-662-45690-3, S. 197, doi:10.1007/978-3-662-45691-0.